Mostre que a diferença entre os níveis de decibéis de um som está relacionada com a razão das distâncias r1 e r2 da fonte sonora por:
beta2-beta1=20 log (r1r2)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para mostrar que a diferença entre os níveis de decibéis ( beta2 - beta1) de um som está relacionada com a razão das distâncias ( r1 e r2) da fonte sonora pela fórmula:
beta2-beta1=20 log (r1r2)
Vamos resolver isso usando conceitos de intensidade sonora e a lei do inverso do quadrado, que nos ajuda a entender como o som se propaga à distância.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o nível de intensidade sonora em decibéis ( beta) é dado por:
beta = 10 log (II0)
onde I é a intensidade do som e I0 é a intensidade de referência.

Passo 3

Agora, sabemos que a intensidade sonora diminui com o quadrado da distância da fonte, ou seja,
I propto 1r^2
Isso significa que se você dobra a distância ( r), a intensidade diminui para um quarto do valor original.

Passo 4

Vamos considerar duas intensidades sonoras em duas distâncias diferentes, r1 e r2. Assim:
I1 = Kr1^2 e I2 = Kr2^2
onde K é uma constante relacionada à potência da fonte sonora.

Passo 5

Agora, vamos calcular os níveis de decibéis para cada intensidade:
beta1 = 10 log (I1I0) = 10 log (KI0 r1^2)
beta2 = 10 log (I2I0) = 10 log (KI0 r2^2)

Passo 6

Queremos encontrar a diferença beta2 - beta1:
beta2 - beta1 = 10 log (KI0 r2^2) - 10 log (KI0 r1^2)

Passo 7

Utilizando uma propriedade dos logaritmos, que diz que log a - log b = log (ab), temos:
beta2 - beta1 = 10 log (KI0 r2^2 div KI0 r1^2) = 10 log (r1^2r2^2)

Passo 8

Simplificando r1^2r2^2 para (r1r2)^2, e lembrando que log(a^2) = 2log a, obtenhamos:
beta2 - beta1 = 10 times 2 log (r1r2) = 20 log (r1r2)

Resposta

Portanto, mostramos que a diferença entre os níveis de decibéis está relacionada com a razão das distâncias da fonte sonora pela fórmula:
beta2-beta1=20 log (r1r2)

Exercícios relacionados