Mostre que a diferença entre os níveis de decibéis de um som está relacionada com a razão das distâncias
e
da fonte sonora por:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para mostrar que a diferença entre os níveis de decibéis (
) de um som está relacionada com a razão das distâncias (
e
) da fonte sonora pela fórmula:
Vamos resolver isso usando conceitos de intensidade sonora e a lei do inverso do quadrado, que nos ajuda a entender como o som se propaga à distância.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que o nível de intensidade sonora em decibéis (
) é dado por:
onde
é a intensidade do som e
é a intensidade de referência.
Passo 3
Agora, sabemos que a intensidade sonora diminui com o quadrado da distância da fonte, ou seja,
Isso significa que se você dobra a distância (
), a intensidade diminui para um quarto do valor original.
Passo 4
Vamos considerar duas intensidades sonoras em duas distâncias diferentes,
e
. Assim:
onde
é uma constante relacionada à potência da fonte sonora.
Passo 5
Agora, vamos calcular os níveis de decibéis para cada intensidade:
Passo 6
Queremos encontrar a diferença
:
Passo 7
Utilizando uma propriedade dos logaritmos, que diz que
, temos:
Passo 8
Simplificando
para
, e lembrando que
, obtenhamos:
Resposta
Portanto, mostramos que a diferença entre os níveis de decibéis está relacionada com a razão das distâncias da fonte sonora pela fórmula: