Mostre que g(x, y)=ccc(x^2+y^2) sin (1x^2+y^2), & (x, y) & neq(0,0) 0 & (x, y) & =(0,0) é diferenciável em (0,0), mas não é de classe C^1.

Passo 1

O enunciado define
g(x,y)= (x^2+y^2)sinl(tfrac1x^2+y^2r),&(x,y)neq(0,0), 0,&(x,y)=(0,0),
e pede para mostrar que g é diferenciável em (0,0) (isto é, possui diferencial linear ali) mas não é de classe C^1 no ponto (0,0) (as derivadas parciais não são contínuas lá). Vamos usar (1) definição de diferenciabilidade em termos de limite de resto e (2) cálculo das derivadas parciais para verificar continuidade.

Passo 2

Calculemos as derivadas parciais de g em (0,0) pela definição. Para a derivada em x:
partialx g(0,0) =limhto0g(h,0)-g(0,0)h =limhto0h^2sinl(tfrac1h^2r)h =limhto0hsinl(tfrac1h^2r)=0
Analogamente,
partialy g(0,0) =limkto0g(0,k)-0k =limkto0ksinl(tfrac1k^2r)=0

Passo 3

Para verificar diferenciabilidade, mostramos que
g(x,y)-0-partialxg(0,0),x-partialyg(0,0),y raizx^2+y^2 =(x^2+y^2)sinl(tfrac1x^2+y^2r)raizx^2+y^2
tende a zero quando (x,y)to(0,0). Mas
l|(x^2+y^2)sinl(tfrac1x^2+y^2r)r|<= x^2+y^2,
então
|g(x,y)raizx^2+y^2| <=x^2+y^2raizx^2+y^2 =raizx^2+y^2;xrightarrow[(x,y)to(0,0)];0
Isso mostra que o termo de resto é o(raizx^2+y^2), logo g é diferenciável em (0,0).

Passo 4

Para ver que g não é C^1 em (0,0), basta mostrar que partialxg não é contínua ali. Para (x,0) com xneq0, usamos regra do produto e cadeia em
g(x,0)=x^2sinl(tfrac1x^2r)
Temos
partialxg(x,0) =2xsinl(tfrac1x^2r) +x^2cosl(tfrac1x^2r)cdotl(-2x^-3r) =2xsinl(tfrac1x^2r)-2xcosl(tfrac1x^2r)
Escolhendo a sequência
xk=1raizpi k,
temos 1/xk^2=pi k de modo que cos(1/xk^2)=cos(pi k)=(-1)^k. Logo
partialxg(xk,0) =2xksin(pi k)-2xk(-1)^k =0-;2(-1)^kraizpi k,
cujo valor em módulo ;2raizpi ktoinfty. Assim partialxg(x,0) não se aproxima de partialxg(0,0)=0 quando xto0, provando a descontinuidade de partialxg em (0,0).

Resposta

A função g é diferenciável em (0,0), mas as suas derivadas parciais não são contínuas em (0,0), isto é, g não é de classe C^1.

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