Exercício 9 (a) Mostre que f: X Y é injetora se, e somente se, existe uma função g: Y X tal que g(f(x))=x, forall x in X.
(b) Mostre que f: X Y é sobrejetora se, e somente se, existe uma função h: Y X tal que f(h(y))=y, forall y in Y.
(c) Dada a função f: X Y, suponha que g, h: Y X são funções tais que g(f(x))=x para todo x in X e f(h(y))=y para todo y in Y. Mostre que g=h.

Passo 1

O exercício trata de uma função fcolon Xto Y e pede:
(a) mostrar que f é injetora se, e somente se, existe gcolon Yto X com
gl(f(x)r)=xforall xin X;
(b) mostrar que f é sobrejetora se, e somente se, existe hcolon Yto X com
fl(h(y)r)=yforall yin Y;
(c) mostrar que, se existem g,hcolon Yto X satisfazendo essas duas propriedades, então g=h.
Vamos usar as definições de injetividade e sobrejetividade e construir inversas à esquerda e à direita.

Passo 2

Prova de (a), direção “
é bijetivo, logo possui inversa tal que para todo . Defina
Então ,

Passo 3

Prova de (a), direção “ Leftarrow”:
Suponha existir gcolon Yto X com g(f(x))=x para todo x. Se f(x1)=f(x2), aplicando g vem
x1 = gl(f(x1)r)=gl(f(x2)r)=x2,
logo f é injetora.

Passo 4

Prova de (b), direção “ Rightarrow”:
Se f é sobrejetora, então para cada yin Y existe pelo menos um xin X com f(x)=y. Defina h(y) escolhendo arbitrariamente um desses x. Assim hcolon Yto X satisfaz
fl(h(y)r)=yforall yin Y

Passo 5

Prova de (b), direção “ Leftarrow”:
Suponha existir hcolon Yto X com f(h(y))=y para todo y. Então, por definição de sobrejetividade, para cada yin Y existe x=h(y) tal que f(x)=y. Logo f é sobrejetora.

Passo 6

Prova de (c):
Suponha que g,hcolon Yto X satisfazem
gl(f(x)r)=xforall xin X, fl(h(y)r)=yforall yin Y
Para todo yin Y temos y=fl(h(y)r), então
g(y)=gl(f(h(y))r)=h(y)
Assim g=h.

Resposta

(a) Foi mostrado que f é injetora se, e somente se, existe gcolon Yto X com gcirc f=idX.
(b) Foi mostrado que f é sobrejetora se, e somente se, existe hcolon Yto X com fcirc h=idY.
(c) Demonstração de que qualquer inversa à esquerda e qualquer inversa à direita coincidem, ou seja, g=h.

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