Exercício 9 (a) Mostre que
é injetora se, e somente se, existe uma função
tal que
.
(b) Mostre que
é sobrejetora se, e somente se, existe uma função
tal que
.
(c) Dada a função
, suponha que
são funções tais que
para todo
e
para todo
. Mostre que
.
(b) Mostre que
(c) Dada a função
Passo 1
O exercício trata de uma função
e pede:
(a) mostrar que é injetora se, e somente se, existe
com
(a) mostrar que
(b) mostrar que
é sobrejetora se, e somente se, existe
com
(c) mostrar que, se existem
satisfazendo essas duas propriedades, então
.
Vamos usar as definições de injetividade e sobrejetividade e construir inversas à esquerda e à direita.
Vamos usar as definições de injetividade e sobrejetividade e construir inversas à esquerda e à direita.
Passo 2
Prova de (a), direção “
é bijetivo, logo possui inversa
tal que
para todo
. Defina
Então ,
Passo 3
Prova de (a), direção “
”:
Suponha existir com
para todo
. Se
, aplicando
vem
Suponha existir
logo
é injetora.
Passo 4
Prova de (b), direção “
”:
Se é sobrejetora, então para cada
existe pelo menos um
com
. Defina
escolhendo arbitrariamente um desses
. Assim
satisfaz
Se
Passo 5
Prova de (b), direção “
”:
Suponha existir com
para todo
. Então, por definição de sobrejetividade, para cada
existe
tal que
. Logo
é sobrejetora.
Suponha existir
Passo 6
Prova de (c):
Suponha que satisfazem
Suponha que
Para todo
temos
, então
Assim
.
Resposta
(a) Foi mostrado que
é injetora se, e somente se, existe
com
.
(b) Foi mostrado que é sobrejetora se, e somente se, existe
com
.
(c) Demonstração de que qualquer inversa à esquerda e qualquer inversa à direita coincidem, ou seja, .
(b) Foi mostrado que
(c) Demonstração de que qualquer inversa à esquerda e qualquer inversa à direita coincidem, ou seja,