Mostre dimensionalmente que os números de MACH e Reynolds são adimensionais.

Passo 1

O que o problema pede: mostrar, por análise dimensional, que o número de Mach e o número de Reynolds são adimensionais (ou seja, sem unidades).
Informações dadas / definições que vamos usar:
  • Número de Mach \,M=\dfrac{v}{a}\,, onde:
    • v = velocidade do corpo ou do escoamento;
    • a = velocidade do som no meio.
  • Número de Reynolds \,Re=\dfrac{\rho v L}{\mu}\, (forma com viscosidade dinâmica) ou, alternativamente, \,Re=\dfrac{vL}{\nu}\, (forma com viscosidade cinemática), onde:
    • \rho = densidade do fluido;
    • v = velocidade característica do escoamento;
    • L = comprimento característico (ex.: diâmetro);
    • \mu = viscosidade dinâmica;
    • \nu = viscosidade cinemática, definida por \nu=\dfrac{\mu}{\rho}.

Passo 2

Breve nota sobre análise dimensional (a ferramenta que vamos usar).
  • Notação: [X] indica as dimensões físicas da grandeza X.
  • Usaremos as dimensões básicas massa, comprimento e tempo: M (massa), L (comprimento) e T (tempo).
  • Uma grandeza é adimensional se a expressão das suas dimensões reduz ao número puro 1 (ou seja, nenhum M, L ou T permanece).

Passo 3

Dimensões das quantidades que aparecem em M e Re.
  • Velocidade v: dimensão de comprimento sobre tempo, portanto
[v]=L\,T^{-1}.
  • Velocidade do som a: é uma velocidade, logo
[a]=L\,T^{-1}.
  • Densidade \rho: massa por volume, então
[\rho]=M\,L^{-3}.
  • Comprimento característico L: dimensão
[L]=L.
  • Viscosidade dinâmica \mu: dimensões podem ser obtidas a partir da Lei de Newton para tensão de cisalhamento ou balance de unidades; seu resultado é
[\mu]=M\,L^{-1}\,T^{-1}.
  • Viscosidade cinemática \nu: definida por \nu=\dfrac{\mu}{\rho}, portanto
[\nu]=\frac{[\mu]}{[\rho]}=\frac{M\,L^{-1}\,T^{-1}}{M\,L^{-3}}=L^{2}\,T^{-1}.

Passo 4

Análise dimensional do número de Mach \,M=\dfrac{v}{a}.
Calcular as dimensões de M:
[M]=\frac{[v]}{[a]}=\frac{L\,T^{-1}}{L\,T^{-1}}.
Agora simplifica-se: L cancela com L e T^{-1} cancela com T^{-1}, sobrando
[M]=1.
Portanto \,M é adimensional. (Interpretação física: Mach é apenas uma razão entre duas velocidades, por isso não tem unidade.)

Passo 5

Análise dimensional do número de Reynolds usando a forma \,Re=\dfrac{\rho v L}{\mu}.
Calcular as dimensões:
[Re]=\frac{[\rho]\,[v]\,[L]}{[\mu]} =\frac{\bigl(M\,L^{-3}\bigr)\bigl(L\,T^{-1}\bigr)\bigl(L\bigr)}{M\,L^{-1}\,T^{-1}}.
Multiplicando o numerador:
\text{numerador} = M\,L^{-3}\cdot L\cdot L\cdot T^{-1}=M\,L^{-1}\,T^{-1}.
Agora divide pelo denominador M\,L^{-1}\,T^{-1}:
[Re]=\frac{M\,L^{-1}\,T^{-1}}{M\,L^{-1}\,T^{-1}}=1.
Logo \,Re é adimensional.

Passo 6

Mesmo resultado usando a forma com viscosidade cinemática \,Re=\dfrac{vL}{\nu}.
Calcule:
[Re]=\frac{[v]\,[L]}{[\nu]}=\frac{\bigl(L\,T^{-1}\bigr)\bigl(L\bigr)}{L^{2}\,T^{-1}}=\frac{L^{2}\,T^{-1}}{L^{2}\,T^{-1}}=1.
Confirma novamente que \,Re é adimensional.

Passo 7

Comentário físico curto (útil para prova):
  • \,M adimensional porque compara duas velocidades (objeto/escoamento versus velocidade do som). Valores típicos: subsonic M<1, sônico M\approx1, supersônico M>1.
  • \,Re adimensional porque mede a razão entre efeitos inerciais e efeitos viscosos no escoamento; regimes de escoamento (ex.: laminar/turbulento) dependem de faixas de Re. Ex.: escoamento em tubo tende a ser laminar para Re\lesssim2000 e turbulento para Re\gtrsim4000 (valores indicativos).

Resposta

M é adimensional.
Re é adimensional.

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