Mostre dimensionalmente que os números de MACH e Reynolds são adimensionais.
Passo 1
O que o problema pede: mostrar, por análise dimensional, que o número de Mach e o número de Reynolds são adimensionais (ou seja, sem unidades).
Informações dadas / definições que vamos usar:
Informações dadas / definições que vamos usar:
- Número de Mach
, onde: -
= velocidade do corpo ou do escoamento; -
= velocidade do som no meio.
-
- Número de Reynolds
(forma com viscosidade dinâmica) ou, alternativamente, (forma com viscosidade cinemática), onde: -
= densidade do fluido; -
= velocidade característica do escoamento; -
= comprimento característico (ex.: diâmetro); -
= viscosidade dinâmica; -
= viscosidade cinemática, definida por .
-
Passo 2
Breve nota sobre análise dimensional (a ferramenta que vamos usar).
- Notação:
indica as dimensões físicas da grandeza . - Usaremos as dimensões básicas massa, comprimento e tempo:
(massa), (comprimento) e (tempo). - Uma grandeza é adimensional se a expressão das suas dimensões reduz ao número puro
(ou seja, nenhum , ou permanece).
Passo 3
Dimensões das quantidades que aparecem em
e
.
- Velocidade
: dimensão de comprimento sobre tempo, portanto
- Velocidade do som
: é uma velocidade, logo
- Densidade
: massa por volume, então
- Comprimento característico
: dimensão
- Viscosidade dinâmica
: dimensões podem ser obtidas a partir da Lei de Newton para tensão de cisalhamento ou balance de unidades; seu resultado é
- Viscosidade cinemática
: definida por , portanto
Passo 4
Análise dimensional do número de Mach
.
Calcular as dimensões de :
Calcular as dimensões de
Agora simplifica-se:
cancela com
e
cancela com
, sobrando
Portanto
é adimensional. (Interpretação física: Mach é apenas uma razão entre duas velocidades, por isso não tem unidade.)
Passo 5
Análise dimensional do número de Reynolds usando a forma
.
Calcular as dimensões:
Calcular as dimensões:
Multiplicando o numerador:
Agora divide pelo denominador
:
Logo
é adimensional.
Passo 6
Mesmo resultado usando a forma com viscosidade cinemática
.
Calcule:
Calcule:
Confirma novamente que
é adimensional.
Passo 7
Comentário físico curto (útil para prova):
-
adimensional porque compara duas velocidades (objeto/escoamento versus velocidade do som). Valores típicos: subsonic , sônico , supersônico . -
adimensional porque mede a razão entre efeitos inerciais e efeitos viscosos no escoamento; regimes de escoamento (ex.: laminar/turbulento) dependem de faixas de . Ex.: escoamento em tubo tende a ser laminar para e turbulento para (valores indicativos).