Mostre que as dimensões do vetor c \varepsilon_{0} \vec{E} \times \vec{B} são as de momento/(área.tempo) enquanto que as do vetor \frac{\vec{E} \times \vec{B}}{\mu_{0}} são as de energia/(área.tempo).

Passo 1

O enunciado pede para mostrar, por análise dimensional, que
  • o vetor c\,\varepsilon_{0}\,\mathbf{E}\times\mathbf{B} tem dimensões de momento dividido por área \timestempo, e
  • o vetor \dfrac{\mathbf{E}\times\mathbf{B}}{\mu_{0}} tem dimensões de energia dividido por área \timestempo.
    O conteúdo é análise dimensional em eletromagnetismo, em unidades SI.

Passo 2

Primeiro identificamos as dimensões de \mathbf{E}, \mathbf{B}, \varepsilon_{0} e \mu_{0} em unidades base (M,L,T,I).
A intensidade de campo elétrico é força sobre carga, logo
[\mathbf{E}]=\frac{[\text{força}]}{[\text{carga}]}=\frac{M\,L\,T^{-2}}{I\,T} =M\,L\,T^{-3}\,I^{-1}.ç
A densidade de fluxo magnético vem da força de Lorentz F=q\,v\,B, de onde
[\mathbf{B}]=\frac{[\text{força}]}{[\text{carga}]\,[\text{velocidade}]} =\frac{M\,L\,T^{-2}}{(I\,T)\,(L\,T^{-1})} =M\,T^{-2}\,I^{-1}.ç
Do eletromagnetismo sabemos ainda
[\varepsilon_{0}]=\frac{Q^{2}}{F\,L^{2}} =\frac{I^{2}\,T^{2}}{M\,L^{3}\,T^{-2}} =I^{2}\,T^{4}\,M^{-1}\,L^{-3}, \qquad [\mu_{0}]=\frac{F}{I^{2}} =\frac{M\,L\,T^{-2}}{I^{2}}.

Passo 3

Agora calculamos as dimensões de c\,\varepsilon_{0}\,\mathbf{E}\times\mathbf{B}.
Primeiro
[\mathbf{E}\times\mathbf{B}] =[\mathbf{E}]\,[\mathbf{B}] =(M\,L\,T^{-3}\,I^{-1})\,(M\,T^{-2}\,I^{-1}) =M^{2}\,L\,T^{-5}\,I^{-2}.
Multiplicando por \varepsilon_{0} e por c [c]=L\,T^{-1} temos
[c\,\varepsilon_{0}\,\mathbf{E}\times\mathbf{B}] =L\,T^{-1}\;\times\;I^{2}\,T^{4}\,M^{-1}\,L^{-3} \;\times\;M^{2}\,L\,T^{-5}\,I^{-2} =M\,L^{-2}\,T^{-1}\,\times\,L\,T^{-1} =M\,L^{-1}\,T^{-2}.
Por outro lado, momento dividido por área \timestempo é
\frac{[\text{momento}]}{[\text{área}]\,[\text{tempo}]} =\frac{M\,L\,T^{-1}}{L^{2}\,T} =M\,L^{-1}\,T^{-2},á
que coincide com o resultado acima.

Passo 4

Agora \dfrac{\mathbf{E}\times\mathbf{B}}{\mu_{0}}:
\bigl[\mathbf{E}\times\mathbf{B}\bigr] =M^{2}\,L\,T^{-5}\,I^{-2}, \quad [\mu_{0}]=M\,L\,T^{-2}\,I^{-2},
logo
\Bigl[\frac{\mathbf{E}\times\mathbf{B}}{\mu_{0}}\Bigr] =\frac{M^{2}\,L\,T^{-5}\,I^{-2}}{M\,L\,T^{-2}\,I^{-2}} =M\,T^{-3}.
Energia dividida por área \timestempo tem dimensão
\frac{[\text{energia}]}{[\text{área}]\,[\text{tempo}]} =\frac{M\,L^{2}\,T^{-2}}{L^{2}\,T} =M\,T^{-3},á
que coincide com o resultado acima.

Passo 5

Portanto mostramos que
  • c\,\varepsilon_{0}\,\mathbf{E}\times\mathbf{B} tem dimensão M\,L^{-1}\,T^{-2}, i.e.\ momento/(áre a\cdot tempo),
  • \frac{\mathbf{E}\times\mathbf{B}}{\mu_{0}} tem dimensão M\,T^{-3}, i.e.\ energia/(áre a\cdot tempo).

Resposta

As dimensões conferem: c\,\varepsilon_{0}\,\mathbf{E}\times\mathbf{B} → momento/(áre a\cdot tempo), \dfrac{\mathbf{E}\times\mathbf{B}}{\mu_{0}} → energia/(áre a\cdot tempo).

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