Mostre que as unidades das grandezas envolvidas na equação \mathrm{E}=\mathrm{cB} estão corretas, isto é, quando B é medido em teslas e c em metros por segundo, o produto cB é expresso em volts por metro ou newtons por coulomb.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, na relação
\mathrm{E} = c\,\mathrm{B},
se \mathrm{B} é medido em teslas \mathrm{T} e c em metros por segundo \mathrm{m/s}, então o produto c\,\mathrm{B} de fato tem unidades de volts por metro \mathrm{V/m} ou newtons por coulomb \mathrm{N/C}. Vamos usar análise dimensional recordando as definições de cada unidade.

Passo 2

Começamos lembrando que um tesla é definido como
1\,\mathrm{T} = \frac{1\,\mathrm{N}}{1\,\mathrm{A}\,\mathrm{m}}
portanto, em termos de unidades fundamentais, \mathrm{B} em teslas pode ser escrito como \mathrm{N}/(\mathrm{A}\,\mathrm{m}).

Passo 3

Agora multiplicamos essa unidade pela de c, que é \mathrm{m/s}:
c\,\mathrm{B} = \frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}} \times \frac{\mathrm{N}}{\mathrm{A}\,\mathrm{m}} = \frac{\mathrm{N}}{\mathrm{A}\,\mathrm{s}}

Passo 4

Reconhecemos que ampère vezes segundo é coulomb, pois
1\,\mathrm{A} = \frac{1\,\mathrm{C}}{1\,\mathrm{s}} \quad\Longrightarrow\quad 1\,\mathrm{A}\,\mathrm{s} = 1\,\mathrm{C}.
Logo,
\frac{\mathrm{N}}{\mathrm{A}\,\mathrm{s}} = \frac{\mathrm{N}}{\mathrm{C}}.

Passo 5

Para ver que \mathrm{N/C} e \mathrm{V/m} são a mesma coisa, lembramos que o campo elétrico também pode ser expresso por força por carga:
E = \frac{F}{q}
e que, por definição, diferença de potencial dividido por distância é
\frac{\mathrm{V}}{\mathrm{m}}.
Como F/q tem unidade \mathrm{N/C}, concluímos
1\,\mathrm{V/m} = 1\,\mathrm{N/C}.

Resposta

Mostramos que c\,\mathrm{B}
adquire unidades de \mathrm{N/C}, equivalentes a \mathrm{V/m}. Portanto, a fórmula \mathrm{E}=c\,\mathrm{B} está corretamente balanceada dimensionalmente.

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