Mostre, diretamente a partir da equação de Schrodinger independente do tempo que, lang<= p^2rang<==lang<= 2 m[E-V(x)]rang<= e lang<= x^2rang<= para qualquer potencial V(x), e que lang<= p^2rang<==lang<= 2 m Erang<= para o poço quadrado infinito. Use este resultado para calcular lang<= p^2rang<= para o estado fundamental, n=1, e para o primeiro estado excitado, n=2, do poço quadrado infinito. Resp: lang<= p^2rang<=n=1=h^24 L^2,lang<= p^2rang<=n=2=h^2L^2

Passo 1

O enunciado pede para mostrarmos, a partir da equação de Schr"odinger independente do tempo, que em um estado estacion’ario
lang<= p^2rang<= ;=;lang<= 2m,[E - V(x)]rang<=
para qualquer potencial V(x), e em particular, que para o po’co infinito V(x)=0 no interior e psi=0 nas paredes, temos
lang<= p^2rang<= ;=;2mE,
Em seguida, usando os n’iveis de energia do po’co infinito
En = n^2h^28mL^2,,
calcular lang<= p^2rang<= para n=1 e n=2.

Passo 2

Come\c{c}amos pela equa\c{c}~ao de Schr"odinger estacion’aria
-hbar^22m,d^2psidx^2 + V(x),psi = E,psi
Definimos o operador momento quadrado
p^2 = l(-,ihbar,tfracddxr)^2 = -,hbar^2,d^2dx^2
Logo, sua esperan\c{c}a em psi 'e
lang<= p^2rang<= = integral psi^*(x),l(-hbar^2tfracd^2dx^2r),psi(x),dx
Mas da equa\c{c}~ao de Schr"odinger isolamos
-,hbar^2,d^2psidx^2 =2ml[E - V(x)r] ,psi(x)
Substituindo dentro do integral e usando que psi e psi' se anulam nos contornos (ou no infinito), obtemos
lang<= p^2rang<= = integral psi^*,2ml[E - V(x)r]psi,dx =2m,llang<= E - V(x)rrang<=,
o que era para mostrar.

Passo 3

No caso do poço quadrado infinito em 0<= x<= L temos V(x)=0 e psi(0)=psi(L)=0. Daí
lang<= p^2rang<= = 2m,lang<= Erang<= = 2m,En
Como é estado estacionário, lang<= Erang<==En. E o espectro do poço é
En = hbar^2pi^2n^22mL^2 = n^2h^28mL^2
Logo
lang<= p^2rang<=n =2m,n^2h^28mL^2 =n^2h^24L^2

Resposta

lang<= p^2rang<=n=1=h^24L^2, lang<= p^2rang<=n=2=4,h^24L^2=h^2L^2

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