Mostre, diretamente a partir da equação de Schrodinger independente do tempo que,
e
para qualquer potencial
, e que
para o poço quadrado infinito. Use este resultado para calcular
para o estado fundamental,
, e para o primeiro estado excitado,
, do poço quadrado infinito. Resp:
Passo 1
O enunciado pede para mostrarmos, a partir da equação de Schr"odinger independente do tempo, que em um estado estacion’ario
para qualquer potencial
, e em particular, que para o po’co infinito
no interior e
nas paredes, temos
Em seguida, usando os n’iveis de energia do po’co infinito
calcular
para
e
.
Passo 2
Come\c{c}amos pela equa\c{c}~ao de Schr"odinger estacion’aria
Definimos o operador momento quadrado
Logo, sua esperan\c{c}a em
'e
Mas da equa\c{c}~ao de Schr"odinger isolamos
Substituindo dentro do integral e usando que
e
se anulam nos contornos (ou no infinito), obtemos
o que era para mostrar.
Passo 3
No caso do poço quadrado infinito em
temos
e
. Daí
Como é estado estacionário,
. E o espectro do poço é
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