Mostre que, num disco em torno de um polo uma função complexa é a soma de duas funções, uma racional e outra holomorfa.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. A gente tem uma função complexa que possui um polo, e queremos mostrar que, num disco ao redor desse polo, essa função pode ser escrita como a soma de duas partes: uma função racional e outra função que é holomorfa (ou seja, bem comportada e sem singularidades ali perto). Para resolver isso, vamos precisar entender sobre séries de Laurent e as propriedades das funções racionais e holomorfas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é um polo. Em funções complexas, um polo é um tipo de singularidade onde a função “explode” para o infinito de uma maneira específica. Por exemplo, a função $ f(z) = \frac{1}{z} $ tem um polo de ordem 1 em $ z = 0 $.
Passo 3
Agora, vamos falar sobre séries de Laurent. Quando temos uma função complexa com um polo, podemos expandi-la em uma série de Laurent no entorno desse polo. A série de Laurent é parecida com a série de Taylor, mas permite termos com potências negativas de $ z $. Essa expansão nos ajuda a separar as partes da função que têm singularidades (os termos negativos) das que são bem comportadas (os termos não negativos).
Passo 4
Vamos escrever a série de Laurent para a função $ f(z) $ em torno do polo. Ela fica da seguinte forma:
Aqui, $ z_0 $ é o ponto onde está o polo, $ m $ é a ordem do polo, os termos de $ n = -m $ a $ -1 $ representam a parte racional (com singularidade), e os termos de $ n = 0 $ em diante representam a parte holomorfa (bem comportada).
Passo 5
Vamos identificar essas duas partes:
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Função Racional: $ P(z) = \sum_{n=-m}^{-1} a_n (z - z_0)^n $. Essa parte contém os termos que fazem a função “explodir” no polo, ou seja, tem os termos negativos que correspondem à singularidade.
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Função Holomorfa: $ h(z) = \sum_{n=0}^{\infty} a_n (z - z_0)^n $. Essa parte é bem comportada no disco ao redor do polo e não tem singularidades.
Passo 6
Assim, conseguimos escrever a função original $ f(z) $ como a soma dessas duas partes:
Onde $ P(z) $ é uma função racional que captura a singularidade do polo, e $ h(z) $ é uma função holomorfa que é bem comportada no entorno do polo.
Resposta
Em um disco ao redor de um polo, a função complexa $ f(z) $ pode ser escrita como a soma de uma função racional $ P(z) $ e uma função holomorfa $ h(z) $, ou seja: