Utilize resíduos para calcular
(v) integral0^infty x^2(x^2+1)^2 d x;

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral integral0^infty x^2(x^2+1)^2 dx usando o método dos resíduos. Esse tipo de problema está na área de análise complexa, mais especificamente usando o teorema dos resíduos para calcular integrais reais. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre funções complexas e como identificar e calcular os resíduos.

Passo 2

Primeiro, vamos estender a função real para o conjunto dos números complexos. Vamos considerar a função f(z) = z^2(z^2+1)^2. Nosso objetivo é calcular a integral ao longo do eixo real, mas para isso, vamos integrar f(z) ao longo de um contorno no plano complexo.

Passo 3

Escolhemos um contorno que é composto por uma linha reta ao longo do eixo real de -R a R e uma semicircunferência de raio R no semiplano superior. Quando R tende ao infinito, a contribuição da semicircunferência tende a zero, e a integral ao longo do eixo real será igual a 2pi i vezes a soma dos resíduos dentro do contorno.

Passo 4

Identificamos os polos da função f(z). Os polos são os valores de z que tornam o denominador zero, ou seja, z^2 + 1 = 0. Resolvendo, temos z = i e z = -i. Como estamos integrando no semiplano superior, apenas z = i está dentro do nosso contorno.

Passo 5

Calculamos o resíduo em z = i. Como o polo em z = i é de ordem 2 (porque (z^2+1)^2 está ao quadrado), usamos a fórmula para resíduos em polos de ordem n:
Res(f, i) = 1(n-1)! limz to i d^n-1dz^n-1 [(z - i)^n f(z)]
Aqui, n = 2, então:
Res(f, i) = limz to i ddz [(z - i)^2 z^2(z^2+1)^2]

Passo 6

Calculamos a derivada:
ddz [z^2(z - i)^2(z^2+1)^2] = 2z(z - i)^2(z^2+1)^2 - z^2(z - i)^2 2(z^2+1)(2z)(z^2+1)^4
Simplificando e substituindo z = i:
Res(f, i) = i^24i^3 = -14(-i) = 14i

Passo 7

Aplicamos o teorema dos resíduos, que diz que a integral ao redor do contorno é 2pi i vezes a soma dos resíduos dentro do contorno. Então:
integral-infty^infty x^2(x^2+1)^2 dx = 2pi i cdot 14i = pi2
Como a função é par, a integral de -infty a +infty é o dobro da integral de 0 a +infty. Portanto:
integral0^infty x^2(x^2+1)^2 dx = 12 cdot pi2 = pi4

Resposta

pi4

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