Utilize resíduos para calcular
(v)
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(v)
Passo 1
Beleza, vamos resolver a integral
usando o método dos resíduos. Esse tipo de problema está na área de análise complexa, mais especificamente usando o teorema dos resíduos para calcular integrais reais. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre funções complexas e como identificar e calcular os resíduos.
Passo 2
Primeiro, vamos estender a função real para o conjunto dos números complexos. Vamos considerar a função
. Nosso objetivo é calcular a integral ao longo do eixo real, mas para isso, vamos integrar
ao longo de um contorno no plano complexo.
Passo 3
Escolhemos um contorno que é composto por uma linha reta ao longo do eixo real de
a
e uma semicircunferência de raio
no semiplano superior. Quando
tende ao infinito, a contribuição da semicircunferência tende a zero, e a integral ao longo do eixo real será igual a
vezes a soma dos resíduos dentro do contorno.
Passo 4
Identificamos os polos da função
. Os polos são os valores de
que tornam o denominador zero, ou seja,
. Resolvendo, temos
e
. Como estamos integrando no semiplano superior, apenas
está dentro do nosso contorno.
Passo 5
Calculamos o resíduo em
. Como o polo em
é de ordem 2 (porque
está ao quadrado), usamos a fórmula para resíduos em polos de ordem
:
Aqui,
, então:
Passo 6
Calculamos a derivada:
Simplificando e substituindo
:
Passo 7
Aplicamos o teorema dos resíduos, que diz que a integral ao redor do contorno é
vezes a soma dos resíduos dentro do contorno. Então:
Como a função é par, a integral de
a
é o dobro da integral de
a
. Portanto: