Seja
uma função holomorfa, definida numa vizinhança
de
e satisfazendo:
e 0 é o único zero de
em
. Seja
uma função holomorfa também definida em
. Mostre que
divide
, isto é,
onde
é holomorfa se, e só se:
para toda funcão holomorfa
em
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão fala sobre funções holomorfas, que são funções complexas diferenciáveis em um certo conjunto aberto. Aqui, temos duas funções holomorfas, $ f $ e $ g $, definidas numa vizinhança $ U $ de 0 no plano complexo. Sabemos que $ f(0) = 0 $ e que 0 é o único zero de $ f $ em $ U $. Queremos mostrar que $ f $ divide $ g $ (ou seja, existe uma função holomorfa $ h $ tal que $ g = h f $) se, e só se, o resíduo $ \operatorname{res}\left(k \frac{g}{f}, 0\right) $ é zero para toda função holomorfa $ k $ em $ U $. Para resolver isso, vamos usar conceitos de análise complexa como polos, resíduos e divisor de funções holomorfas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa que $ f $ divide $ g $. Se $ f $ divide $ g $, existe uma função holomorfa $ h $ tal que $ g = h f $. Isso implica que onde $ f $ é zero (no caso, apenas em 0), $ g $ também deve ser zero, mantendo $ h $ bem definida e holomorfa em $ U $.
Passo 3
Agora, vamos pensar no contrário: se $ f $ não divide $ g $, então $ \frac{g}{f} $ não é holomorfa em $ U $, ou seja, tem um polo em 0. O resíduo de uma função em um polo é uma medida do quanto a função “gira” em torno desse ponto. Se o resíduo for diferente de zero, isso indica que há um polo, portanto, $ \frac{g}{f} $ não é holomorfa, e $ f $ não divide $ g $.
Passo 4
Para formalizar, vamos usar o Teorema de Residuo. Se $ \frac{g}{f} $ tem um resíduo zero para toda função holomorfa $ k $, isso significa que não há termos com $ \frac{1}{z} $ na expansão de Laurent de $ k \frac{g}{f} $ em torno de 0. Como isso vale para toda $ k $, especialmente para $ k = 1 $, concluímos que $ \frac{g}{f} $ deve ser holomorfa em $ U $, logo, $ f $ divide $ g $.
Passo 5
Além disso, se $ f $ divide $ g $, então $ g = h f $ com $ h $ holomorfa, e para qualquer $ k $ holomorfa, $ k \frac{g}{f} = k h $ também é holomorfa. Como funções holomorfas não têm resíduos (a menos que tenham polos), o resíduo de $ k \frac{g}{f} $ em 0 é zero.
Resposta
Portanto, mostramos que $ f $ divide $ g $ se, e somente se, o resíduo $ \operatorname{res}\left(k \frac{g}{f}, 0\right) = 0 $ para toda função holomorfa $ k $ em $ U $.