Esboce as curvas de nível k da função f(x, y)=364 x^2+9 y^2 para k in1,36. Descreva o caso geral, para k in R arbitrário.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa esboçar as curvas de nível da função para valores específicos de (como 1 e 36) e também entender como fica para qualquer valor real de . Isso envolve conhecimentos de funções de duas variáveis e curvas de nível, que são basicamente as “linhas” onde a função mantém um valor constante.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma curva de nível. Para uma função de duas variáveis , a curva de nível para um valor é o conjunto de pontos que satisfazem a equação . Ou seja, estamos buscando todas as combinações de e que fazem a função valer exatamente .

Passo 3

Vamos aplicar isso à nossa função. Queremos encontrar as curvas onde:
364x^2 + 9y^2 = k
Para facilitar, vamos manipular essa equação. Multiplicando ambos os lados por 36 = k(4x^2 + 9y^2) , temos:
4x^2 + 9y^2 = 36k
Agora, vamos dividir ambos os lados por (assumindo que ):

Passo 4

Essa equação �� parecida com a da elipse padrão, que é:
x^2a^2 + y^2b^2 = 1
Comparando com a equação que obtivemos, podemos reescrever:
x^29k + y^24k = 1
Isso mostra que, para cada , a curva de nível é uma elipse com semi-eixos e .

Passo 5

Vamos esboçar para 4x^2 + 9y^2 = 36 implies x^29 + y^24 = 1 e 4x^2 + 9y^2 = 1 implies x^219 + y^214 = 1 :
  • Para :
    Essa é uma elipse com semi-eixos de 3 (em ) e 2 (em ).
  • Para :
    Essa é uma elipse mais “apertada”, com semi-eixos de (em ) e (em ).

Passo 6

No caso geral, para qualquer x^29k + y^24k = 1 (considerando já que a função só é definida positivamente), a curva de nível será sempre uma elipse dada por:
À medida que aumenta, a elipse fica menor, e conforme diminui, a elipse se alarga.

Resposta

As curvas de nível da função são elipses definidas por . Para , a elipse tem semi-eixos de 3 e 2, e para , os semi-eixos são e . Em geral, para qualquer , a curva de nível é uma elipse com semi-eixos e .

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