Esboce as curvas de nível
da função
para
. Descreva o caso geral, para
arbitrário.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa esboçar as curvas de nível
da função
para valores específicos de
(como 1 e 36) e também entender como fica para qualquer valor real de
. Isso envolve conhecimentos de funções de duas variáveis e curvas de nível, que são basicamente as “linhas” onde a função mantém um valor constante.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma curva de nível. Para uma função de duas variáveis
, a curva de nível para um valor
é o conjunto de pontos
que satisfazem a equação
. Ou seja, estamos buscando todas as combinações de
e
que fazem a função valer exatamente
.
Passo 3
Vamos aplicar isso à nossa função. Queremos encontrar as curvas onde:
Para facilitar, vamos manipular essa equação. Multiplicando ambos os lados por
, temos:
Agora, vamos dividir ambos os lados por
(assumindo que
):
Passo 4
Essa equação �� parecida com a da elipse padrão, que é:
Comparando com a equação que obtivemos, podemos reescrever:
Isso mostra que, para cada
, a curva de nível é uma elipse com semi-eixos
e
.
Passo 5
Vamos esboçar para
e
:
-
Para
: Essa é uma elipse com semi-eixos de 3 (em) e 2 (em ). -
Para
: Essa é uma elipse mais “apertada”, com semi-eixos de(em ) e (em ).
Passo 6
No caso geral, para qualquer
(considerando
já que a função só é definida positivamente), a curva de nível será sempre uma elipse dada por:
À medida que
aumenta, a elipse fica menor, e conforme
diminui, a elipse se alarga.
Resposta
As curvas de nível da função
são elipses definidas por
. Para
, a elipse tem semi-eixos de 3 e 2, e para
, os semi-eixos são
e
. Em geral, para qualquer
, a curva de nível é uma elipse com semi-eixos
e
.