1. Mostre que a distancia entre os dois pontos z_{1} \mathrm{e} z_{2} \mathrm{em} um diagrama de Argand é \left|z_{1}-z_{2}\right|.

Passo 1

O enunciado pede para mostrarmos que, no diagrama de Argand, a distância entre os pontos que representam dois números complexos z_{1} e z_{2} coincide com o módulo de z_{1}-z_{2}. O conteúdo aqui envolve a representação cartesiana dos complexos e o Teorema de Pitágoras para calcular distâncias no plano.

Passo 2

Escrevemos
z_{1}=x_{1}+i\,y_{1},
z_{2}=x_{2}+i\,y_{2},
onde (x_{1},y_{1}) e (x_{2},y_{2}) são as coordenadas dos pontos no plano de Argand.

Passo 3

Pela geometria analítica, a distância d entre os pontos (x_{1},y_{1}) e (x_{2},y_{2}) é dada por
d = \sqrt{(x_{2}-x_{1})^{2} + (y_{2}-y_{1})^{2}}.

Passo 4

Por outro lado, o número complexo z_{1}-z_{2} vale
z_{1}-z_{2} = (x_{1}-x_{2}) + i\,(y_{1}-y_{2}),
e seu módulo é
\bigl|z_{1}-z_{2}\bigr| = \sqrt{(x_{1}-x_{2})^{2} + (y_{1}-y_{2})^{2}} = \sqrt{(x_{2}-x_{1})^{2} + (y_{2}-y_{1})^{2}}.

Passo 5

Comparando as expressões, vemos que a distância d coincide exatamente com \bigl|z_{1}-z_{2}\bigr|.

Resposta

A distância entre os pontos que representam z_{1} e z_{2} no diagrama de Argand é
\boxed{\bigl|z_{1}-z_{2}\bigr|}.

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