Mostre que a distancia entre os dois pontos z_{1} \mathrm{e} z_{2} \mathrm{em} um diagrama de Argand é \left|z_{1}-z_{2}\right|.
Passo 1
O enunciado pede para mostrarmos que, no diagrama de Argand, a distância entre os pontos que representam dois números complexos z_{1} e z_{2} coincide com o módulo de z_{1}-z_{2}. O conteúdo aqui envolve a representação cartesiana dos complexos e o Teorema de Pitágoras para calcular distâncias no plano.
Passo 2
Escrevemos
z_{1}=x_{1}+i\,y_{1},
z_{2}=x_{2}+i\,y_{2},
onde (x_{1},y_{1}) e (x_{2},y_{2}) são as coordenadas dos pontos no plano de Argand.
Passo 3
Pela geometria analítica, a distância d entre os pontos (x_{1},y_{1}) e (x_{2},y_{2}) é dada por
d = \sqrt{(x_{2}-x_{1})^{2} + (y_{2}-y_{1})^{2}}.
Passo 4
Por outro lado, o número complexo z_{1}-z_{2} vale