Determinar a equação do plano que contém o ponto A=(3,2,1) e a reta r:\left\{\begin{array}{c}x+2 y-z-1=0 \\\\ 2 x+y-z+7=0\end{array}\right..
Passo 1
O enunciado dá um ponto e uma reta e pede a equação do plano que contém ambos. Informação fornecida:
Ponto A=(3,2,1)\).
- Reta \(r\) dada como interseção de duas equações
\[\begin{cases} x+2y-z-1=0,\\[4pt] 2x+y-z+7=0. \end{cases}
O que se pede:
Determinar a equação do plano que passa por A\] e contém a reta \(r.]
Passo 2
Primeiro obtenho uma representação paramétrica da reta [r) (um ponto qualquer da reta e seu vetor diretor). Para isso resolvo o sistema das duas equações para expressar x,y,z em função de um parâmetro.
Subtraindo a segunda equação da primeira (para eliminar z):
(Escolhi a ordem A-P_0; tanto faz o sentido, apenas muda o sinal do vetor, que não altera o plano.)
Passo 4
Para obter um vetor normal ao plano uso o produto vetorial entre o vetor diretor da reta \vec{v} e o vetor \overrightarrow{P_0A}. O vetor normal \vec{n} satisfaz \vec{n}\perp\vec{v} e \vec{n}\perp\overrightarrow{P_0A}, e pode ser tomado como
\vec{n}=\vec{v}\times\overrightarrow{P_0A}.
Faço o cálculo do produto vetorial com cuidado (usando determinante por menores):