Determinar a equação do plano que contém o ponto A=(3,2,1) e a reta
r:\left\{\begin{array}{c}x+2 y-z-1=0 \\\\ 2 x+y-z+7=0\end{array}\right..

Passo 1

O enunciado dá um ponto e uma reta e pede a equação do plano que contém ambos. Informação fornecida:
  • Ponto A=(3,2,1)\). - Reta \(r\) dada como interseção de duas equações \[\begin{cases} x+2y-z-1=0,\\[4pt] 2x+y-z+7=0. \end{cases}
O que se pede:
  • Determinar a equação do plano que passa por A\] e contém a reta \(r.]

Passo 2

Primeiro obtenho uma representação paramétrica da reta [r) (um ponto qualquer da reta e seu vetor diretor). Para isso resolvo o sistema das duas equações para expressar x,y,z em função de um parâmetro.
Subtraindo a segunda equação da primeira (para eliminar z):
(x+2y-z-1)-(2x+y-z+7)=0 \quad\Rightarrow\quad -x+y-8=0.
Logo
y=x+8.
Substituo na primeira equação x+2y-z-1=0:
x+2(x+8)-z-1=0 \quad\Rightarrow\quad 3x+15-z=0.
Logo
z=3x+15.
Escolho o parâmetro t tal que x=t. Assim a forma paramétrica da reta é
\begin{cases} x=t,\\[4pt] y=t+8,\\[4pt] z=3t+15. \end{cases}
Um ponto da reta é obtido tomando t=0\]: \(P_0=(0,8,15). O vetor diretor da reta é a derivada em t, ou seja
\vec{v}=(1,1,3).]

Passo 3

Agora preciso de um vetor que ligue o ponto A até um ponto qualquer da reta; uso P_0. Calculo o vetor \overrightarrow{P_0A} (do ponto da reta para A):
Coordenadas:
\overrightarrow{P_0A}=A-P_0=(3-0,\;2-8,\;1-15)=(3,-6,-14).
(Escolhi a ordem A-P_0; tanto faz o sentido, apenas muda o sinal do vetor, que não altera o plano.)

Passo 4

Para obter um vetor normal ao plano uso o produto vetorial entre o vetor diretor da reta \vec{v} e o vetor \overrightarrow{P_0A}. O vetor normal \vec{n} satisfaz \vec{n}\perp\vec{v} e \vec{n}\perp\overrightarrow{P_0A}, e pode ser tomado como
\vec{n}=\vec{v}\times\overrightarrow{P_0A}.
Faço o cálculo do produto vetorial com cuidado (usando determinante por menores):
\vec{v}=(1,1,3),\qquad \overrightarrow{P_0A}=(3,-6,-14).
\vec{n}=\begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\[4pt] 1 & 1 & 3 \\[4pt] 3 & -6 & -14 \end{vmatrix} = \mathbf{i}(1\cdot(-14)-3\cdot(-6))-\mathbf{j}(1\cdot(-14)-3\cdot3)+\mathbf{k}(1\cdot(-6)-1\cdot3).
Calculo cada componente:
\mathbf{i}: \;1\cdot(-14)-3\cdot(-6) = -14 +18 = 4,
\mathbf{j}: \;1\cdot(-14)-3\cdot3 = -14 -9 = -23,\quad\text{e com o sinal do desenvolvimento fica } -(-23)=23,
\mathbf{k}: \;1\cdot(-6)-1\cdot3 = -6 -3 = -9.
Portanto
\vec{n}=(4,23,-9).
(Observação: um normal paralelo a (4,23,-9) também é (-4,-23,9); qualquer múltiplo não nulo serve.)]

Passo 5

Com o vetor normal \vec{n}=(4,23,-9) e sabend o plano passa pelo ponto A=(3,2,1), a equação do plano vem da condição
\vec{n}\cdot\bigl((x,y,z)-A\bigr)=0.
Escrevendo:
4(x-3)+23(y-2)-9(z-1)=0.
Desenvolvo os parênteses:
4x-12+23y-46-9z+9=0.
Somando as constantes:
4x+23y-9z+(-12-46+9)=4x+23y-9z-49=0.

Passo 6

Conferindo: a equação final do plano é
4x+23y-9z-49=0.
Posso verificar rapidamente que A=(3,2,1) satisfaz:
4\cdot3+23\cdot2-9\cdot1-49=12+46-9-49=0,
e que o vetor diretor \vec{v}=(1,1,3) é ortogonal ao normal:
(4,23,-9)\cdot(1,1,3)=4+23-27=0,
portanto a reta está contida no plano.

Resposta

4x+23y-9z-49=0

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