Mostre que a distância entre um ponto S e uma reta passando por P paralela a \vec{v} é
d=\frac{\|\overrightarrow{P S} \times \vec{v}\|}{\|\vec{v}\|}

Passo 1

Resumindo, temos um ponto S e uma reta que passa por P e tem direção \vec{v}. A tarefa é achar a distância mínima de S até essa reta. Para isso, a ideia-chave é usar geometria vetorial: o módulo do produto vetorial dá a área de um paralelogramo, que se relaciona com base e altura (e a altura é justamente essa distância).

Passo 2

Definimos \overrightarrow{PS} = \overrightarrow{S} - \overrightarrow{P}. Se \theta é o ângulo entre \overrightarrow{PS} e \vec{v}, então a distância perpendicular vale
d = \|\overrightarrow{PS}\|\sin\theta.
Por outro lado, pela definição de produto vetorial, temos
\|\overrightarrow{PS}\times\vec{v}\| = \|\overrightarrow{PS}\|\,\|\vec{v}\|\sin\theta,
que é a área do paralelogramo com lados \overrightarrow{PS} e \vec{v}.

Passo 3

Isolando \sin\theta na expressão do produto vetorial e substituindo em d=\|\overrightarrow{PS}\|\sin\theta, obtemos
d = \|\overrightarrow{PS}\|\, \frac{\|\overrightarrow{PS}\times\vec{v}\|}{\|\overrightarrow{PS}\|\|\vec{v}\|} = \frac{\|\overrightarrow{PS}\times\vec{v}\|}{\|\vec{v}\|}.

Resposta

d = \frac{\|\overrightarrow{PS}\times\vec{v}\|}{\|\vec{v}\|}.

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