Suponha que uma força constante F move uma partícula de um ponto P até um ponto Q. O trabalho realizado pela partícula é dado por:
W=\langle\vec{F}, \overrightarrow{P Q}\rangle .
Se a unidade de comprimento é dada em metros e a força em Newtons, o trabalho é dado em Joules ( J ). Calcule o trabalho considerando:
\vec{F}=-c \vec{k}, P=\left(x_{1}, y_{1}, z_{1}\right) \quad e \quad Q=\left(x_{2}, y_{2}, z_{2}\right).

Passo 1

O enunciado quer o trabalho
W = \langle \vec{F},\,\overrightarrow{PQ}\rangle
para a força constante \vec{F} = -c\,\vec{k} e os pontos
P=(x_{1},y_{1},z_{1}),\quad Q=(x_{2},y_{2},z_{2}).
O conteúdo é produto escalar de vetores em \mathbb{R}^3.

Passo 2

Calculemos o vetor deslocamento \overrightarrow{PQ} subtraindo coordenadas:
\overrightarrow{PQ} =Q - P =\bigl(x_{2}-x_{1},\,y_{2}-y_{1},\,z_{2}-z_{1}\bigr).

Passo 3

Aplicamos o produto escalar
W =\langle \vec{F},\,\overrightarrow{PQ}\rangle =\bigl\langle -c\,\vec{k},\,(\Delta x,\Delta y,\Delta z)\bigr\rangle,
sabendo que \vec{k}=(0,0,1) e \Delta z = z_{2}-z_{1}. Então
W =-c\cdot0\cdot\Delta x \;+\;-c\cdot0\cdot\Delta y \;+\;-c\cdot1\cdot\Delta z =-c\,(z_{2}-z_{1}).

Resposta

W=-c\,(z_{2}-z_{1}).

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