Mostre que para quaisquer vetores
e
, tem-se:
(Identidade de Lagrange).
Passo 1
O enunciado pede para provar a identidade de Lagrange para vetores em
:
Vamos usar a interpretação geométrica do produto escalar e do produto vetorial em termos do ângulo
entre
e
.
Passo 2
Recordando as definições geométricas:
Aqui
é o ângulo determinado pela relação
.
Passo 3
Eleve ao quadrado o módulo do produto vetorial:
Passo 4
Agora reescreva o lado direito da identidade proposta em função de
e
:
Mas
, logo
Passo 5
Comparamos o resultado do passo 3 e do passo 4:
o que demonstra exatamente a identidade de Lagrange.
Resposta
A identidade está provada: