Mostre que para quaisquer vetores \vec{u} e \vec{v}, tem-se:
\|\vec{u} \times \vec{v}\|^{2}=\|\vec{u}\|^{2}\|\vec{v}\|^{2}-\langle\vec{u}, \vec{v}\rangle^{2} (Identidade de Lagrange).

Passo 1

O enunciado pede para provar a identidade de Lagrange para vetores em \mathbb{R}^3:
\|\vec{u}\times\vec{v}\|^{2} \;=\;\|\vec{u}\|^{2}\,\|\vec{v}\|^{2}\;-\;\langle\vec{u},\vec{v}\rangle^{2}.
Vamos usar a interpretação geométrica do produto escalar e do produto vetorial em termos do ângulo \theta entre \vec{u} e \vec{v}.

Passo 2

Recordando as definições geométricas:
\langle\vec{u},\vec{v}\rangle \;=\;\|\vec{u}\|\,\|\vec{v}\|\cos\theta,
\|\vec{u}\times\vec{v}\| \;=\;\|\vec{u}\|\,\|\vec{v}\|\sin\theta.
Aqui \theta é o ângulo determinado pela relação \cos\theta=\dfrac{\langle\vec{u},\vec{v}\rangle}{\|\vec{u}\|\|\vec{v}\|}.

Passo 3

Eleve ao quadrado o módulo do produto vetorial:
\|\vec{u}\times\vec{v}\|^{2} =\bigl(\|\vec{u}\|\,\|\vec{v}\|\sin\theta\bigr)^{2} =\|\vec{u}\|^{2}\,\|\vec{v}\|^{2}\,\sin^{2}\theta.

Passo 4

Agora reescreva o lado direito da identidade proposta em função de \sin^{2}\theta e \cos^{2}\theta:
\|\vec{u}\|^{2}\,\|\vec{v}\|^{2} -\langle\vec{u},\vec{v}\rangle^{2} =\|\vec{u}\|^{2}\,\|\vec{v}\|^{2} -\bigl(\|\vec{u}\|\,\|\vec{v}\|\cos\theta\bigr)^{2}
=\|\vec{u}\|^{2}\,\|\vec{v}\|^{2} -\|\vec{u}\|^{2}\,\|\vec{v}\|^{2}\cos^{2}\theta =\|\vec{u}\|^{2}\,\|\vec{v}\|^{2}\bigl(1-\cos^{2}\theta\bigr).
Mas 1-\cos^{2}\theta=\sin^{2}\theta, logo
\|\vec{u}\|^{2}\,\|\vec{v}\|^{2}\bigl(1-\cos^{2}\theta\bigr) =\|\vec{u}\|^{2}\,\|\vec{v}\|^{2}\sin^{2}\theta.

Passo 5

Comparamos o resultado do passo 3 e do passo 4:
\|\vec{u}\times\vec{v}\|^{2} =\|\vec{u}\|^{2}\,\|\vec{v}\|^{2}\sin^{2}\theta =\|\vec{u}\|^{2}\,\|\vec{v}\|^{2}-\langle\vec{u},\vec{v}\rangle^{2},
o que demonstra exatamente a identidade de Lagrange.

Resposta

A identidade está provada:
\|\vec{u}\times\vec{v}\|^{2} =\|\vec{u}\|^{2}\,\|\vec{v}\|^{2} -\langle\vec{u},\vec{v}\rangle^{2}.

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