(a) Mostre que a distribuição clássica de probabilidade para uma partícula em um poço unidimensional quadrado infinito de largura L é dada por P(x)=1 / L. (b) Use o resultado do item (a) para calcular lang<= x^2rang<= e lang<= x^2rang<= para uma partícula clássica nesse tipo de poço.

Passo 1

Beleza, o enunciado pede duas coisas:
a) Mostrar que, de forma clássica, uma partícula num poço infinito de largura P(x)=1L, tem distribuição de probabilidade uniforme em , isto é
b) Usar esse resultado pra calcular os valores médios
e .
Conteúdo envolvido: probabilidade contínua (distribuição uniforme), normalização de e definição de valor esperado
.
O que vamos precisar:
  • Entender por que a partícula gasta o mesmo tempo em cada pedaço do poço (logo é constante).
  • Fazer a normalização .
  • Calcular integrais de e com essa .

Passo 2

Por que P(x)=Cpara 0<= x<= L é constante?
Em mecânica clássica, se a partícula não tem nenhuma força atraindo-a para um lado ou outro dentro do poço, ela se move com velocidade constante e “viaja” igualmente por toda a região de integral0^LP(x),dx=integral0^LC,dx= C,L = 1 Longrightarrow C=1L a P(x)=1L (0<= x<= L) . Logo a chance de encontrá-la num intervalo só depende do tamanho , não de onde ele está.
Matematicamente, isso significa
Agora é só achar a constante exigindo normalização:
Pronto:

Passo 3

Vamos lembrar a definição de valor esperado de uma função lang<= f(x)rang<==integral0^L f(x),P(x),dx numa distribuição contínua:
lang<= xrang<= =integral0^L x;1L,dx =1Lintegral0^Lx,dx =1L[x^22]0^L =1LcdotL^22 =L2
Primeiro, calculamos
. Aqui , então

Passo 4

Agora lang<= x^2rang<= =integral0^L x^2;1L,dx =1Lintegral0^Lx^2,dx =1L[x^33]0^L =1LcdotL^33 =L^23 . Aqui , então

Resposta

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