(a) Mostre que a distribuição clássica de probabilidade para uma partícula em um poço unidimensional quadrado infinito de largura
é dada por
. (b) Use o resultado do item (a) para calcular
e
para uma partícula clássica nesse tipo de poço.
Passo 1
Beleza, o enunciado pede duas coisas:
a) Mostrar que, de forma clássica, uma partícula num poço infinito de largura tem distribuição de probabilidade uniforme em
, isto é
a) Mostrar que, de forma clássica, uma partícula num poço infinito de largura
b) Usar esse resultado pra calcular os valores médios
e
.
Conteúdo envolvido: probabilidade contínua (distribuição uniforme), normalização de
e definição de valor esperado
.
O que vamos precisar:
- Entender por que a partícula gasta o mesmo tempo em cada pedaço do poço (logo
é constante). - Fazer a normalização
. - Calcular integrais de
e com essa .
Passo 2
Por que
é constante?
Em mecânica clássica, se a partícula não tem nenhuma força atraindo-a para um lado ou outro dentro do poço, ela se move com velocidade constante e “viaja” igualmente por toda a região de a
. Logo a chance de encontrá-la num intervalo
só depende do tamanho
, não de onde ele está.
Matematicamente, isso significa
Em mecânica clássica, se a partícula não tem nenhuma força atraindo-a para um lado ou outro dentro do poço, ela se move com velocidade constante e “viaja” igualmente por toda a região de
Matematicamente, isso significa
Agora é só achar a constante
exigindo normalização:
Pronto:
Passo 3
Vamos lembrar a definição de valor esperado de uma função
numa distribuição contínua:
Primeiro, calculamos
. Aqui
, então
Passo 4
Agora
. Aqui
, então