Para o primeiro estado excitado do oscilador harmônico simples (
), o polinômio de Hermite da Equação 6-57 é
. Determine (a) a constante de normalização
para este estado. (Sugestão: A mesma do Problema 6-37.)
Passo 1
Beleza, o exercício é sobre o oscilador harmônico quântico, especificamente o primeiro estado excitado (n=1), onde o polinômio de Hermite é dado por
;
.
O que a gente quer achar é:
a) a constante de normalização ,
b) ,
c)
d) ,
para esse estado.
Conteúdo envolvido:
• Forma da função de onda do oscilador harmônico,
• Normalização (uso de integrais Gaussianas),
• Expectation values ( ),
• Argumento de paridade (para ),
• Relação .
;
O que a gente quer achar é:
a) a constante de normalização
b)
c)
d)
para esse estado.
Conteúdo envolvido:
• Forma da função de onda do oscilador harmônico,
• Normalização (uso de integrais Gaussianas),
• Expectation values (
• Argumento de paridade (para
• Relação
Passo 2
Antes de partir pra integração, vamos escrever a função de onda
.
Na convenção “física” usual, a gente define
Na convenção “física” usual, a gente define
Para
:
.
Logo
Logo
E sabemos que, em geral,
Passo 3
Vamos normalizar
, ou seja
.
Substituindo
Substituindo
precisamos da integral Gaussiana
Aqui
.
Fazendo a conta:
Fazendo a conta:
Então
Passo 4
Agora
:
Repare que
é par em
(depende de
),
mas o fator extra “ ” torna o integrando ímpar.
Integral de função ímpar em é zero.
Logo
mas o fator extra “
Integral de função ímpar em
Logo
Passo 5
Agora
:
Usamos
.
Então,
substituindo e nosso
,
Então,
substituindo
Mas já vimos que
,
logo
logo
Passo 6
Finalmente
.
Como ,
Como
Resposta
a)
b)
c)
d)
b)
c)
d)