Para o primeiro estado excitado do oscilador harmônico simples ( n=1 ), o polinômio de Hermite da Equação 6-57 é H1(x) =x. Determine (a) a constante de normalização C1 ;(b)lang<= xrang<= ;(c)lang<= x^2rang<= ;(d)lang<= V(x)rang<= para este estado. (Sugestão: A mesma do Problema 6-37.)

Passo 1

Beleza, o exercício é sobre o oscilador harmônico quântico, especificamente o primeiro estado excitado (n=1), onde o polinômio de Hermite é dado por
;
.
O que a gente quer achar é:
a) a constante de normalização ,
b) ,
c)
d) ,
para esse estado.
Conteúdo envolvido:
• Forma da função de onda do oscilador harmônico,
• Normalização (uso de integrais Gaussianas),
• Expectation values ( ),
• Argumento de paridade (para ),
• Relação .

Passo 2

Antes de partir pra integração, vamos escrever a função de onda psin(x) = Cn,Hn(xi),e^-xi^2/2 com xi=raizmomegahbar;x .
Na convenção “física” usual, a gente define
psi1(x) = C1,(2xi),e^-xi^2/2 = C1,2raizmomegahbar,x, exp!(-tfracmomega2hbarx^2)
Para Cn =(tfracmomegapihbar)^!1/4 1raiz2^n,n! : .
Logo
E sabemos que, em geral,

Passo 3

Vamos normalizar |psi1|^2 = |C1|^2;4,momegahbar; x^2, e^-momegahbarx^2, , ou seja
integral-infty^inftyx^2,e^-a x^2,dx = raizpi2,a^3/2 .
Substituindo
1 =|C1|^2;4;momegahbar; raizpi2,(momega/hbar)^3/2 =|C1|^2;2,raizpi(momega/hbar)^1/2
precisamos da integral Gaussiana
|C1|^2 =(momega/hbar)^1/22,raizpi ;;Longrightarrow;; C1 =(momegahbarpi)^!1/41raiz2
Aqui .
Fazendo a conta:
Então

Passo 4

Agora lang<= xrang<= =integral-infty^inftyx,|psi1(x)|^2,dx :
lang<= xrang<= = 0
Repare que é par em (depende de ),
mas o fator extra “ ” torna o integrando ímpar.
Integral de função ímpar em é zero.
Logo

Passo 5

Agora lang<= x^2rang<= =integral-infty^inftyx^2,|psi1(x)|^2,dx =|C1|^2 ,4,momegahbar, integral-infty^inftyx^4,e^-momegahbarx^2dx :
lang<= x^2rang<= =|C1|^2;4,momegahbar; 3raizpi4,(momega/hbar)^5/2 =|C1|^2; 3,raizpi(momega/hbar)^3/2
Usamos
lang<= x^2rang<= =(momega/hbar)^1/22raizpi ;3raizpi(momega/hbar)^3/2 =32,hbarmomega .
Então,
substituindo e nosso ,
Mas já vimos que
,
logo

Passo 6

Finalmente lang<= V(x)rang<= =12,momega^2,lang<= x^2rang<= =12,momega^2;32,hbarmomega =34,hbaromega .
Como ,

Resposta

a)
b)
c)
d)

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