Um núcleo toroidal tem uma seção reta retangular definida pelas superfícies rho=2 cm, rho=3 cm, z=4 cm e z=4.5 cm. O material do núcleo possui uma permeabilidade relativa de 80 . Se o núcleo é enrolado por uma bobina que contém 8000 espiras de fio, calcule a indutância.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão trata de calcular a indutância de um núcleo toroidal com uma seção retangular. Para isso, vamos precisar entender conceitos de indutância, permeabilidade magnética e geometria do núcleo. Vamos por partes!

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as dimensões da seção retangular do núcleo. As superfícies dadas são:
  • rho = 2 , cm a rho = 3 , cm (dimensão radial)
  • z = 4 , cm a z = 4.5 , cm (dimensão vertical)
Isso significa que a largura da seção é 3 , cm - 2 , cm = 1 , cm e a altura é 4.5 , cm - 4 , cm = 0.5 , cm.

Passo 3

Agora, vamos calcular a área da seção transversal ( A) do núcleo toroidal. Como a seção é retangular:
A = largura times a
Convertendo para metros quadrados:
A = 0.5 times 10^-4 , m^2 = 5 times 10^-5 , m^2

Passo 4

Em seguida, vamos determinar o comprimento médio do caminho magnético ( l) do núcleo toroidal. Para um toroide circular, o comprimento médio é dado por:
l = 2pi rm
Onde rm é o raio médio. Como a seção vai de rho = 2 , cm a rho = 3 , cm, o raio médio é:
rm = 2 , cm + 3 , cm2 = 2.5 , cm = 0.025 , m
Portanto:
l = 2pi times 0.025 , m approx 0.157 , m

Passo 5

Agora, vamos calcular a permeabilidade magnética absoluta ( mu) do material do núcleo. Sabemos que:
mu = mu0 times mur
Onde:
  • mu0 = 4pi times 10^-7 , H/m (permeabilidade do vácuo)
  • mur = 80 (permeabilidade relativa)
Então:
mu = 4pi times 10^-7 , H/m times 80 = 1.005 times 10^-3 , H/m

Passo 6

Com todos os valores na mão, podemos usar a fórmula da indutância ( L) para um toro:
L = N^2 mu Al
Onde:
  • N = 8000 espiras
  • mu = 1.005 times 10^-3 , H/m
  • A = 5 times 10^-5 , m^2
  • l = 0.157 , m
Substituindo os valores:
L = 8000^2 times 1.005 times 10^-3 times 5 times 10^-50.157

Passo 7

Vamos calcular passo a passo:
Primeiro, calcular N^2:
8000^2 = 64 times 10^6
Agora, multiplicar todos os termos no numerador:
64 times 10^6 times 1.005 times 10^-3 times 5 times 10^-5 = 64 times 1.005 times 5 times 10^-2 = 64 times 5.025 times 10^-2 = 3.216 , H
Finalmente, dividir pelo comprimento do caminho magnético:
L = 3.2160.157 approx 20.5 , H

Resposta

A indutância do núcleo toroidal é aproximadamente 20.5 , Henries.

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