Mostre que para qualquer escalar k, vale:
k(\vec{A}+\vec{B})=k \vec{A}+k \vec{B}

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, para qualquer escalar k, vale a igualdade
k(\vec{A}+\vec{B})=k\vec{A}+k\vec{B}.
Informações dadas (claras e explícitas):
  • \vec{A} e \vec{B} são vetores (em geral em \mathbb{R}^n, ou em um espaço vetorial sobre \mathbb{R}).
  • k é um escalar (no caso usual, k\in\mathbb{R}).
    A tarefa é provar que multiplicar o escalar k pela soma dos vetores é o mesmo que somar os vetores multiplicados por k.

Passo 2

Vamos usar a definição concreta de vetores em coordenadas (forma mais básica e direta). Escrevemos as coordenadas dos vetores:
\vec{A} = (a_1,a_2,\dots,a_n), \qquad \vec{B} = (b_1,b_2,\dots,b_n),
onde cada a_i e b_i é um número real. Aqui:
  • a_i é a i-ésima componente de \vec{A};
  • b_i é a i-ésima componente de \vec{B};
  • n é o número de componentes (dimensão), pode ser qualquer inteiro positivo.
Explicando as operações (definições que usamos):
  • A soma de vetores é feita componente a componente:
\vec{A}+\vec{B} = (a_1+b_1,\; a_2+b_2,\; \dots,\; a_n+b_n).
  • A multiplicação de um vetor por um escalar também é componente a componente:
k\vec{A} = (ka_1,\; ka_2,\; \dots,\; ka_n).
Essas são definições padrão quando tratamos vetores como n-uplas de números reais.

Passo 3

Agora formamos a expressão do lado esquerdo usando as definições acima:
\vec{A}+\vec{B} = (a_1+b_1,\; a_2+b_2,\; \dots,\; a_n+b_n),
portanto
k(\vec{A}+\vec{B}) = k\bigl(a_1+b_1,\; a_2+b_2,\; \dots,\; a_n+b_n\bigr).
Pelo modo como a multiplicação escalar é definida, isso significa multiplicar cada componente por k:
k(\vec{A}+\vec{B}) = \bigl(k(a_1+b_1),\; k(a_2+b_2),\; \dots,\; k(a_n+b_n)\bigr).

Passo 4

Usamos agora a propriedade distributiva dos números reais (uma propriedade básica da multiplicação sobre a soma em \mathbb{R}):
k(a_i+b_i)=ka_i+kb_i\quad\text{para todo }i=1,\dots,n.
Aplicando isso componente a componente na expressão anterior obtemos:
k(\vec{A}+\vec{B}) = \bigl(ka_1+kb_1,\; ka_2+kb_2,\; \dots,\; ka_n+kb_n\bigr).

Passo 5

Reagrupamos cada componente como soma de componentes de dois vetores:
\bigl(ka_1+kb_1,\; ka_2+kb_2,\; \dots,\; ka_n+kb_n\bigr) = (ka_1,\; ka_2,\; \dots,\; ka_n) + (kb_1,\; kb_2,\; \dots,\; kb_n).
Pelo significado das tuplas à direita, isso é simplesmente
k(\vec{A}+\vec{B}) = k\vec{A} + k\vec{B}.

Passo 6

Conclusão: como mostramos igualdade componente a componente em todas as n coordenadas, os vetores são iguais. Assim a propriedade vale para vetores em \mathbb{R}^n e, por abstração, essa é exatamente a distributividade escalar sobre a soma exigida nos axiomas de espaço vetorial — portanto válida para qualquer espaço vetorial sobre \mathbb{R}.

Passo 7

Tome \vec{A}=(1,2), \vec{B}=(3,4) e k=5.
Calculando o lado esquerdo:
\vec{A}+\vec{B}=(4,6),\qquad k(\vec{A}+\vec{B})=5(4,6)=(20,30).
Calculando o lado direito:
k\vec{A}=(5,10),\qquad k\vec{B}=(15,20),\qquad k\vec{A}+k\vec{B}=(20,30).
Ambos dão (20,30), confirmando na prática o que provamos em geral.

Resposta

k(\vec{A}+\vec{B})=k\vec{A}+k\vec{B}

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