Mostre que para qualquer escalar
, vale:
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, para qualquer escalar
, vale a igualdade
Informações dadas (claras e explícitas):
-
e são vetores (em geral em , ou em um espaço vetorial sobre ). -
é um escalar (no caso usual, ).
A tarefa é provar que multiplicar o escalarpela soma dos vetores é o mesmo que somar os vetores multiplicados por .
Passo 2
Vamos usar a definição concreta de vetores em coordenadas (forma mais básica e direta). Escrevemos as coordenadas dos vetores:
onde cada
e
é um número real. Aqui:
-
é a -ésima componente de ; -
é a -ésima componente de ; -
é o número de componentes (dimensão), pode ser qualquer inteiro positivo.
Explicando as operações (definições que usamos):
- A soma de vetores é feita componente a componente:
- A multiplicação de um vetor por um escalar também é componente a componente:
Essas são definições padrão quando tratamos vetores como n-uplas de números reais.
Passo 3
Agora formamos a expressão do lado esquerdo usando as definições acima:
portanto
Pelo modo como a multiplicação escalar é definida, isso significa multiplicar cada componente por
:
Passo 4
Usamos agora a propriedade distributiva dos números reais (uma propriedade básica da multiplicação sobre a soma em
):
Aplicando isso componente a componente na expressão anterior obtemos:
Passo 5
Reagrupamos cada componente como soma de componentes de dois vetores:
Pelo significado das tuplas à direita, isso é simplesmente
Passo 6
Conclusão: como mostramos igualdade componente a componente em todas as
coordenadas, os vetores são iguais. Assim a propriedade vale para vetores em
e, por abstração, essa é exatamente a distributividade escalar sobre a soma exigida nos axiomas de espaço vetorial — portanto válida para qualquer espaço vetorial sobre
.
Passo 7
Tome
,
e
.
Calculando o lado esquerdo:
Calculando o lado esquerdo:
Calculando o lado direito:
Ambos dão
, confirmando na prática o que provamos em geral.