Mostre de duas maneiras que se a>0 é construtível então \sqrt{a} é construtível.

Passo 1

O que o enunciado pede: mostrar, por dois caminhos diferentes, que se a>0 é construtível então \sqrt{a} também é construtível.
Informações dadas (essas são as ferramentas que podemos usar):
  • Sabemos que a>0 e que a é construtível (isto significa que, a partir de um segmento unidade dado, conseguimos construir um segmento de comprimento a usando régua e compasso).
  • Podemos assumir que temos disponível um segmento de comprimento 1 (o “unitário”), pois a noção de número construtível é relativa a um segmento unidade fixo.
  • Podemos usar construções geométricas básicas: traçar retas, circunferências, intersecções, perpendicular, semicircunferência, e propriedades clássicas de semicírculo (Teorema de Tales / Thales) e semelhança de triângulos.

Passo 2

Método 1 — construção geométrica clássica (média geométrica via semicírculo). Descrevo o passo a passo da construção física e depois provarei por que dá \sqrt{a}.
Construção:
  1. Em uma reta, marque três pontos colineares P,Q,R (nessa ordem) tais que PQ=1 e QR=a. Isso é possível porque 1 e a são construtíveis.
  2. Desenhe a semicircunferência com diâmetro PR.
  3. A partir do ponto Q, trace a perpendicular à reta PR que corta a semicircunferência em um ponto S acima da reta.
  4. Então o segmento QS é o segmento construído cujo comprimento será mostrado ser \sqrt{a}.
Agora vou provar por que QS=\sqrt{a}.

Passo 3

Prova geométrica do passo anterior (razão com semelhança / propriedade da altitude em triângulo retângulo):
  1. Pelo Teorema de Thales, qualquer ponto S na semicircunferência com diâmetro PR dá um triângulo PSR retângulo em S. Logo \angle PSR = 90^\circ.
  2. Na configuração, a perpendicular traçada em Q até a semicircunferência é exatamente a altura do triângulo retângulo PSR desde o vértice reto S ao hipotenusa PR. Assim Q é a projeção ortogonal de S sobre PR.
  3. Denotemos p = PQ e q = QR. Pelas escolhas temos p=1 e q=a.
  4. Em qualquer triângulo retângulo, a altura h que vai do vértice reto até a hipotenusa divide a hipotenusa em dois segmentos p e q, e vale a relação (obtida por semelhança de triângulos):
h^2 = p\cdot q.
(Explicando essa relação rapidamente: os dois triângulos menores formados pela altura são semelhantes entre si e ao triângulo original; das proporções resultam as igualdades que levam a h^2 = p q.)
5. Aplicando ao nosso caso com h = QS, p = PQ = 1 e q = QR = a, obtemos
QS^2 = PQ\cdot QR = 1\cdot a = a.
  1. Como QS>0, segue QS=\sqrt{a}.

Passo 4

Conclusão do método geométrico: todos os passos foram feitos com régua e compasso (marcar segmentos 1 e a, desenhar semicircunferência e perpendicular), logo a construção produz um segmento de comprimento \sqrt{a}. Portanto \sqrt{a} é construtível por construção clássica.

Passo 5

Método 2 — argumento algébrico via extensões quadráticas (campo dos números construtíveis).
Vou explicar com calma o que usamos aqui e por que isso garante a construção de \sqrt{a}.
  1. Definição (intuitiva e suficiente para nosso uso): um número real x é construtível se, a partir de \mathbb{Q} (ou de um segmento unidade), é possível obtê‑lo por uma sequência finita de operações que consistem em somas, subtrações, multiplicações, divisões e extrações de raízes quadradas. Outra caracterização equivalente (útil aqui) é: existe um corpo (campo) K com
\mathbb{Q}\subseteq K\subseteq\mathbb{R}
tal que x\in K e o grau da extensão [K:\mathbb{Q}] é uma potência de 2, isto é [K:\mathbb{Q}]=2^n para algum n\in\mathbb{N}.
2. A ideia prática: números construtíveis surgem por uma torre finita de extensões quadráticas (adicionar sucessivas raízes quadradas). Então se a já é construtível existe um campo K com \mathbb{Q}\subseteq K\subseteq\mathbb{R}, [K:\mathbb{Q}]=2^n e a\in K.
3. Considere agora o polinômio quadrático
x^2 - a \in K[x].
Se a já for um quadrado em K (isto é, existe b\in K com b^2=a), então \sqrt{a}=b\in K e pronto: \sqrt{a} é construtível. Caso contrário, o polinômio x^2-a é irreducível sobre K e a extensão obtida ao adjar uma raiz \sqrt{a} tem grau 2:
[K(\sqrt{a}):K]=2.
  1. Usando a multiplicatividade dos graus de extensões, temos
[K(\sqrt{a}):\mathbb{Q}] = [K(\sqrt{a}):K]\cdot [K:\mathbb{Q}].
Se x^2-a irreduzível, então [K(\sqrt{a}):K]=2 e assim
[K(\sqrt{a}):\mathbb{Q}] = 2\cdot 2^n = 2^{n+1},
que ainda é uma potência de 2. Se x^2-a já se reduz (ou seja, \sqrt{a}\in K), então [K(\sqrt{a}):\mathbb{Q}]=[K:\mathbb{Q}]=2^n.
5. Em qualquer dos casos, [K(\sqrt{a}):\mathbb{Q}] é uma potência de 2. Pela caracterização acima, isso significa que \sqrt{a} é construtível (está em um corpo obtido por uma torre de extensões quadráticas sobre \mathbb{Q}).

Passo 6

Conclusão do método algébrico: a adição de \sqrt{a} ao corpo que contém a aumenta o grau da extensão sobre \mathbb{Q} no máximo por um fator 2, mantendo o grau total como potência de 2. Logo \sqrt{a} é construtível.

Passo 7

Resumo final e motivação intuitiva (rapidinha, para te animar): geometricamente vimos como “extrair” a raiz quadrada construindo uma média geométrica com um semicírculo — é uma construção clássica e rápida na prova. Algebricamente, o ponto é que os números construtíveis são exatamente os que aparecem por uma cadeia de extensões quadráticas; adjuntar \sqrt{a} é só mais uma dessas extensões (ou nenhuma, se já for quadrado), então continua dentro da família de números construíveis. Dá pra usar qualquer uma das duas abordagens na prova — escolhe a que você fizer mais rápido sob pressão.

Resposta

\sqrt{a} é construtível.

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