Mostre de duas maneiras que se
é construtível então
é construtível.
Passo 1
O que o enunciado pede: mostrar, por dois caminhos diferentes, que se
é construtível então
também é construtível.
Informações dadas (essas são as ferramentas que podemos usar):
- Sabemos que
e que é construtível (isto significa que, a partir de um segmento unidade dado, conseguimos construir um segmento de comprimento usando régua e compasso). - Podemos assumir que temos disponível um segmento de comprimento
(o “unitário”), pois a noção de número construtível é relativa a um segmento unidade fixo. - Podemos usar construções geométricas básicas: traçar retas, circunferências, intersecções, perpendicular, semicircunferência, e propriedades clássicas de semicírculo (Teorema de Tales / Thales) e semelhança de triângulos.
Passo 2
Método 1 — construção geométrica clássica (média geométrica via semicírculo). Descrevo o passo a passo da construção física e depois provarei por que dá
.
Construção:
- Em uma reta, marque três pontos colineares
(nessa ordem) tais que e . Isso é possível porque e são construtíveis. - Desenhe a semicircunferência com diâmetro
. - A partir do ponto
, trace a perpendicular à reta que corta a semicircunferência em um ponto acima da reta. - Então o segmento
é o segmento construído cujo comprimento será mostrado ser .
Agora vou provar por que
.
Passo 3
Prova geométrica do passo anterior (razão com semelhança / propriedade da altitude em triângulo retângulo):
- Pelo Teorema de Thales, qualquer ponto
na semicircunferência com diâmetro dá um triângulo retângulo em . Logo . - Na configuração, a perpendicular traçada em
até a semicircunferência é exatamente a altura do triângulo retângulo desde o vértice reto ao hipotenusa . Assim é a projeção ortogonal de sobre . - Denotemos
e . Pelas escolhas temos e . - Em qualquer triângulo retângulo, a altura
que vai do vértice reto até a hipotenusa divide a hipotenusa em dois segmentos e , e vale a relação (obtida por semelhança de triângulos):
(Explicando essa relação rapidamente: os dois triângulos menores formados pela altura são semelhantes entre si e ao triângulo original; das proporções resultam as igualdades que levam a
.)
5. Aplicando ao nosso caso com ,
e
, obtemos
5. Aplicando ao nosso caso com
- Como
, segue .
Passo 4
Conclusão do método geométrico: todos os passos foram feitos com régua e compasso (marcar segmentos
e
, desenhar semicircunferência e perpendicular), logo a construção produz um segmento de comprimento
. Portanto
é construtível por construção clássica.
Passo 5
Método 2 — argumento algébrico via extensões quadráticas (campo dos números construtíveis).
Vou explicar com calma o que usamos aqui e por que isso garante a construção de
.
- Definição (intuitiva e suficiente para nosso uso): um número real
é construtível se, a partir de (ou de um segmento unidade), é possível obtê‑lo por uma sequência finita de operações que consistem em somas, subtrações, multiplicações, divisões e extrações de raízes quadradas. Outra caracterização equivalente (útil aqui) é: existe um corpo (campo) com
tal que
e o grau da extensão
é uma potência de
, isto é
para algum
.
2. A ideia prática: números construtíveis surgem por uma torre finita de extensões quadráticas (adicionar sucessivas raízes quadradas). Então se já é construtível existe um campo
com
,
e
.
3. Considere agora o polinômio quadrático
2. A ideia prática: números construtíveis surgem por uma torre finita de extensões quadráticas (adicionar sucessivas raízes quadradas). Então se
3. Considere agora o polinômio quadrático
Se
já for um quadrado em
(isto é, existe
com
), então
e pronto:
é construtível. Caso contrário, o polinômio
é irreducível sobre
e a extensão obtida ao adjar uma raiz
tem grau
:
- Usando a multiplicatividade dos graus de extensões, temos
Se
irreduzível, então
e assim
que ainda é uma potência de
. Se
já se reduz (ou seja,
), então
.
5. Em qualquer dos casos, é uma potência de
. Pela caracterização acima, isso significa que
é construtível (está em um corpo obtido por uma torre de extensões quadráticas sobre
).
5. Em qualquer dos casos,
Passo 6
Conclusão do método algébrico: a adição de
ao corpo que contém
aumenta o grau da extensão sobre
no máximo por um fator
, mantendo o grau total como potência de
. Logo
é construtível.
Passo 7
Resumo final e motivação intuitiva (rapidinha, para te animar): geometricamente vimos como “extrair” a raiz quadrada construindo uma média geométrica com um semicírculo — é uma construção clássica e rápida na prova. Algebricamente, o ponto é que os números construtíveis são exatamente os que aparecem por uma cadeia de extensões quadráticas; adjuntar
é só mais uma dessas extensões (ou nenhuma, se já for quadrado), então continua dentro da família de números construíveis. Dá pra usar qualquer uma das duas abordagens na prova — escolhe a que você fizer mais rápido sob pressão.