Construa com régua e compasso os seguintes números reais (faça um roteiro): \sqrt{3}, \sqrt{5}, \sqrt{6}.
Passo 1
O enunciado pede que você construa, com régua e compasso, os números reais \sqrt{3}, \sqrt{5} e \sqrt{6}.
Informações implícitas que vamos usar (assuma que estão disponíveis): um segmento de referência que vamos tomar como unidade — chamo esse segmento de AB com comprimento 1 — e ferramentas clássicas de construção (régua sem escala e compasso).
Resumo do que será feito (não vou resolver ainda, só enumero o que o enunciado pede): produzir, por construções geométricas, segmentos cujos comprimentos sejam \sqrt{3}, \sqrt{5} e \sqrt{6}.
Passo 2
Princípio geométrico que usaremos (a “ferramenta” principal): o teorema de Pitágoras. Em qualquer triângulo retângulo, se os comprimentos dos catetos são a e b e o comprimento da hipotenusa é c, vale
c=\sqrt{a^{2}+b^{2}}.
Isto significa que, se conseguimos construir dois segmentos de comprimentos a e b perpendiculares entre si, então a hipotenusa do triângulo retângulo formado mede \sqrt{a^{2}+b^{2}}. Logo, para obter \sqrt{3},\sqrt{5},\sqrt{6} é suficiente criar triângulos retângulos cujos catetos tenham comprimentos adequados (por exemplo, para \sqrt{3} queremos catetos com comprimentos 1 e \sqrt{2}, porque \sqrt{1^{2}+(\sqrt{2})^{2}}=\sqrt{1+2}=\sqrt{3}). Também usaremos operações básicas de construção: traçar reta, traçar perpendicular por um ponto, transportar um comprimento com o compasso (copiar um segmento).
Passo 3
Construção de \sqrt{2} (passo necessário para \sqrt{3} e \sqrt{6}). Começamos com o segmento unitário AB (ou seja, |AB|=1). Vamos construir um triângulo retângulo isósceles com catetos de comprimento 1, cuja hipotenusa valerá \sqrt{2}.
Procedimento:
Com a régua, prolongue a reta \overline{AB} se necessário (é permitido estender a linha).
Construa a perpendicular à reta \overline{AB} passando por A (método padrão com compasso: marque duas intersecções na linha, desenhe arcos a partir desses pontos e conecte as interseções laterais; o segmento ligando A à interseção dos arcos é perpendicular).
Sobre essa perpendicular, marque o ponto C tal que |AC|=|AB|. Faça isso com o compasso: ajuste o compasso em AB e, com centro em A, marque C na perpendicular.
Agora o triângulo ABC tem catetos |AB|=1 e |AC|=1; portanto a hipotenusa |BC| vale
|BC|=\sqrt{1^{2}+1^{2}}=\sqrt{2}.
Observação prática sobre copiar segmentos: para marcar C basta colocar a abertura do compasso em A até B e, com centro em A, traçar um arco que corte a perpendicular no ponto C.
Passo 4
Construção de \sqrt{3} usando \sqrt{2}. Objetivo: construir um triângulo retângulo cujos catetos sejam de comprimentos 1 e \sqrt{2}; a hipotenusa desse triângulo será \sqrt{3}.
Procedimento:
No passo anterior temos |AB|=1 e já construímos |BC|=\sqrt{2}.
Em B traçe a perpendicular à reta \overline{AB} (use o método de construção de perpendicular por B com compasso e régua).
Copie o comprimento |BC| (ou seja, \sqrt{2}) para essa perpendicular por B: com o compasso ajustado em BC faça um arco centro B que marque o ponto D na perpendicular tal que |BD|=|BC|=\sqrt{2}.
Considere o triângulo retângulo ABD (os catetos são |AB|=1 e |BD|=\sqrt{2}). Pela fórmula de Pitágoras,
Assim, o segmento |AD| representa \sqrt{3}. Você acabou de construir \sqrt{3}.
Dica prática: copie comprimentos sempre com o compasso, e para traçar perpendiculares use o procedimento com arcos que já conhece — ele é padrão e confiável.
Passo 5
Construção de 2 (comprimento necessário para \sqrt{5} e \sqrt{6}). A partir de |AB|=1 é trivial obter comprimento 2 (duas unidades coladas): basta copiar AB sobre a mesma reta.
Procedimento:
Prolongue a reta \overline{AB} além de B.
Com o compasso ajustado em AB (abertura igual a 1), marque sobre a mesma reta o ponto E tal que |BE|=|AB|=1.
Então |AE|=|AB|+|BE|=1+1=2. Ou seja, |AE|=2.
Passo 6
Construção de \sqrt{5}. Queremos um triângulo retângulo com catetos 1 e 2. Use AB como cateto de comprimento 1 e, a partir de A, construa um cateto perpendicular de comprimento 2 (usando o segmento |AE|=2 que acabamos de construir).
Procedimento:
Construa a perpendicular à reta \overline{AB} passando por A (se já existir do passo 3, use-a).
Com o compasso ajuste a abertura em |AE|=2 e, com centro em A, marque o ponto F sobre essa perpendicular tal que |AF|=2.
Considere o triângulo retângulo ABF com catetos |AB|=1 e |AF|=2. Pela fórmula de Pitágoras,
Construção de \sqrt{6}. Podemos obter \sqrt{6} como hipotenusa de um triângulo retângulo cujos catetos têm comprimentos 2 e \sqrt{2}, pois
\sqrt{2^{2}+(\sqrt{2})^{2}}=\sqrt{4+2}=\sqrt{6}.
Já construímos |AE|=2 e |BC|=\sqrt{2}. Agora vamos colocá-los como catetos perpendiculares.
Procedimento:
Escolha um novo ponto O livre da figura para trabalhar (pode ser um ponto qualquer).
Trace duas retas perpendiculares que se cruzem em O (essas serão os eixos onde colocaremos os catetos).
Sobre um dos eixos (e.g., eixo horizontal) marque o ponto X com |OX|=2. Para isso use o compasso com abertura em |AE|=2 e marque X sobre o eixo horizontal a partir de O.
Sobre o outro eixo (e.g., eixo vertical) marque o ponto Y com |OY|=\sqrt{2}. Para isso use o compasso com abertura em |BC|=\sqrt{2} e marque Y sobre o eixo vertical a partir de O.
Agora o triângulo retângulo XY (com vértices X,Y e o ângulo reto em O) tem catetos |OX|=2 e |OY|=\sqrt{2}. Assim a hipotenusa |XY| satisfaz
Observação: em vez de escolher um novo ponto O, você poderia ter reutilizado vértices já existentes, desde que fosse possível montar aí dois catetos perpendiculares cujos comprimentos sejam 2 e \sqrt{2}. A construção com ponto novo é mais direta e evita confusões.
Passo 8
Resumo prático das operações que você precisa praticar na régua e compasso (para fazer tudo sem erro):
Construir perpendiculares por um ponto numa reta (método dos arcos).
Copiar um comprimento com o compasso (colocar a abertura no segmento de origem e reproduzir numa nova posição).
Marcar pontos em um eixo usando o compasso (para obter comprimentos 2, \sqrt{2}, etc.).
Ligar os pontos com a régua para formar os triângulos retângulos cuja hipotenusa dará o número desejado pela fórmula de Pitágoras.