Mostre, sem construir, que os seguintes números reais são construtíveis.
.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que o número real
é construtível (por régua e compasso).
Informações dadas: o número é o quarto radical positivo de , isto é, o real positivo
tal que
.
Informações dadas: o número é o quarto radical positivo de
Passo 2
O que significa “construtível” (explicação didática e necessária para a prova):
- Um número real
é construtível por régua e compasso se, partindo de pontos que representam os números racionais (ou seja, partindo de ), é possível obtê-lo por um número finito de operações de: soma, subtração, multiplicação, divisão e extração de raízes quadradas. Em termos de teoria de corpos, isso equivale a existir uma torre finita de extensões de corpos
em que cada extensão
tem grau
(ou seja, é obtida adjuntando uma raiz quadrada).
- Uma consequência prática muito útil: um número algébrico
é construtível se o grau da extensão é uma potência de . Portanto, para mostrar que é construtível basta mostrar que o grau sobre é uma potência de .
Passo 3
Defino
(o real positivo). A partir disso temos as igualdades
e, elevando ao quadrado,
Logo
é raiz do polinômio em
Assim o polinômio minimal de
sobre
divide
, e o grau
é um divisor de
.
Passo 4
Vou mostrar que
é irredutível em
usando o critério de Eisenstein com o primo
. Lembrete (em linguagem simples) do critério de Eisenstein: se existe um primo
tal que todos os coeficientes, exceto o líder, são divisíveis por
, e o termo constante não é divisível por
, então o polinômio é irredutível em
.
Aplicando ao nosso caso: o polinómio é
- Todos os coeficientes intermediários são
, e é divisível por . - O termo constante é
. Note que , portanto é divisível por . - Verifico se
é divisível por : como e , vemos que não é múltiplo de . Logo não é divisível por .
Portanto o primo
satisfaz as hipóteses do critério de Eisenstein, e concluo que o polinômio
é irredutível em
.
Passo 5
Como
é irredutível e
é raiz dele, o polinômio minimal de
sobre
tem grau
. Assim
Como
é uma potência de
, pelo critério indicado no Passo 2 isso implica que
é construtível por régua e compasso. (Interpretação prática: existe uma torre de três extensões quadráticas que produz
, i.e., três extrações sucessivas de raízes quadradas a partir de
.)