Mostre, sem construir, que os seguintes números reais são construtíveis.
\sqrt[4]{6 \sqrt{7}}.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que o número real \sqrt[4]{6\sqrt{7}} é construtível (por régua e compasso).
Informações dadas: o número é o quarto radical positivo de 6\sqrt{7}, isto é, o real positivo x tal que \;x^4=6\sqrt{7}.

Passo 2

O que significa “construtível” (explicação didática e necessária para a prova):
  • Um número real z é construtível por régua e compasso se, partindo de pontos que representam os números racionais (ou seja, partindo de \mathbb{Q}), é possível obtê-lo por um número finito de operações de: soma, subtração, multiplicação, divisão e extração de raízes quadradas. Em termos de teoria de corpos, isso equivale a existir uma torre finita de extensões de corpos
\mathbb{Q}=K_0\subset K_1\subset\cdots\subset K_m
em que cada extensão K_{i+1}/K_i tem grau 2 (ou seja, é obtida adjuntando uma raiz quadrada).
  • Uma consequência prática muito útil: um número algébrico z é construtível se o grau da extensão [\mathbb{Q}(z):\mathbb{Q}] é uma potência de 2. Portanto, para mostrar que \sqrt[4]{6\sqrt{7}} é construtível basta mostrar que o grau sobre \mathbb{Q} é uma potência de 2.

Passo 3

Defino x=\sqrt[4]{6\sqrt{7}} (o real positivo). A partir disso temos as igualdades
x^4 = 6\sqrt{7}
e, elevando ao quadrado,
x^8 = (x^4)^2 = (6\sqrt{7})^2 = 36\cdot 7 = 252.
Logo x é raiz do polinômio em \mathbb{Q}[t]
t^8-252.
Assim o polinômio minimal de x sobre \mathbb{Q} divide t^8-252, e o grau [\mathbb{Q}(x):\mathbb{Q}] é um divisor de 8.

Passo 4

Vou mostrar que t^8-252 é irredutível em \mathbb{Q}[t] usando o critério de Eisenstein com o primo 7. Lembrete (em linguagem simples) do critério de Eisenstein: se existe um primo p tal que todos os coeficientes, exceto o líder, são divisíveis por p, e o termo constante não é divisível por p^2, então o polinômio é irredutível em \mathbb{Q}[t].
Aplicando ao nosso caso: o polinómio é
t^8-252 = t^8 + 0\cdot t^7 + 0\cdot t^6 + \cdots + 0\cdot t - 252.
  • Todos os coeficientes intermediários são 0, e 0 é divisível por 7.
  • O termo constante é -252. Note que -252 = -7\cdot 36, portanto -252 é divisível por 7.
  • Verifico se -252 é divisível por 7^2=49: como 49\cdot 5=245 e 49\cdot 6=294, vemos que 252 não é múltiplo de 49. Logo -252 não é divisível por 49.
Portanto o primo p=7 satisfaz as hipóteses do critério de Eisenstein, e concluo que o polinômio t^8-252 é irredutível em \mathbb{Q}[t].

Passo 5

Como t^8-252 é irredutível e x é raiz dele, o polinômio minimal de x sobre \mathbb{Q} tem grau 8. Assim
[\mathbb{Q}(x):\mathbb{Q}] = 8.
Como 8=2^3 é uma potência de 2, pelo critério indicado no Passo 2 isso implica que x é construtível por régua e compasso. (Interpretação prática: existe uma torre de três extensões quadráticas que produz \mathbb{Q}(x), i.e., três extrações sucessivas de raízes quadradas a partir de \mathbb{Q}.)

Resposta

\sqrt[4]{6\sqrt{7}} é construtível.

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