Mostre que se duas retas distintas
e
são perpendiculares a uma terceira, então
e
não se interceptam.
Passo 1
O enunciado pede que mostremos a seguinte afirmação: se duas retas distintas
e
são perpendiculares a uma terceira reta
, então
e
não se interceptam.
Informações dadas e claras desde o enunciado:
Informações dadas e claras desde o enunciado:
- Temos três retas:
, e . - As retas
e são perpendiculares a ; isto é, cada uma forma um ângulo reto com . - As retas
e são distintas (não são a mesma reta).
Observações que usaremos (fatos básicos de geometria que usarei na prova): - Quando dizemos que uma reta é perpendicular a outra, significa que o ângulo formado entre elas é um ângulo reto (ou seja,
). - Em uma geometria euclidiana plana, a soma dos ângulos internos de um triângulo vale
.
A resolução começarà a partir do próximo passo.
Passo 2
Estratégia inicial (por contradição): suponho o contrário do que quero provar e mostro que isso leva a uma impossibilidade. Assim, suponho que
e
se interceptem. Vou deduzir uma contradição usando os fatos listados no Passo 1.
Passo 3
Se
e
se interceptam, chamo
o ponto de interseção:
. Como
é perpendicular a
, então
e
se intersectam num ponto; chamo esse ponto de
, isto é,
. Analogamente, como
é perpendicular a
, chamo
.
Passo 4
Mostro que
e
não podem coincidir. Se
, então tanto
quanto
passam pelos pontos
e
. Duas retas que passam por dois pontos distintos são a mesma reta, logo
. Isso contradiz a hipótese de que
e
são distintas. Portanto
.
Passo 5
Agora considere os pontos
,
e
. Como
e
estão sobre
e
não está sobre
(caso contrário
e
estariam sobre
), os três pontos
são não-colineares e formam o triângulo
.
Passo 6
Observe os ângulos em
e em
do triângulo
:
- O segmento
pertence à reta e é perpendicular a , logo o ângulo é um ângulo reto, isto é, . - O segmento
pertence à reta e é perpendicular a , logo o ângulo também é um ângulo reto, isto é, .
Assim, no triângulo
temos dois ângulos retos. Mas isso é impossível porque a soma dos ângulos internos de um triângulo vale
; ter dois ângulos de
já soma
, deixando
para o terceiro ângulo, o que não pode ocorrer em um triângulo real.
Passo 7
Da contradição obtida no Passo 6 (triângulo com dois ângulos retos), concluímos que a hipótese inicial — de que
e
se interceptam — é falsa. Portanto
e
não se interceptam. Em outras palavras, duas retas distintas que são ambas perpendiculares a uma mesma reta não se cortam (são paralelas).
Resposta
As retas
e
não se interceptam.