Mostre que se duas retas distintas m e n são perpendiculares a uma terceira, então m e n não se interceptam.

Passo 1

O enunciado pede que mostremos a seguinte afirmação: se duas retas distintas m e n são perpendiculares a uma terceira reta l, então m e n não se interceptam.
Informações dadas e claras desde o enunciado:
  • Temos três retas: m, n e l.
  • As retas m e n são perpendiculares a l; isto é, cada uma forma um ângulo reto com l.
  • As retas m e n são distintas (não são a mesma reta).
    Observações que usaremos (fatos básicos de geometria que usarei na prova):
  • Quando dizemos que uma reta é perpendicular a outra, significa que o ângulo formado entre elas é um ângulo reto (ou seja, 90^\circ).
  • Em uma geometria euclidiana plana, a soma dos ângulos internos de um triângulo vale 180^\circ.
    A resolução começarà a partir do próximo passo.

Passo 2

Estratégia inicial (por contradição): suponho o contrário do que quero provar e mostro que isso leva a uma impossibilidade. Assim, suponho que m e n se interceptem. Vou deduzir uma contradição usando os fatos listados no Passo 1.

Passo 3

Se m e n se interceptam, chamo A o ponto de interseção: A = m\cap n. Como m é perpendicular a l, então m e l se intersectam num ponto; chamo esse ponto de B, isto é, B = m\cap l. Analogamente, como n é perpendicular a l, chamo C = n\cap l.

Passo 4

Mostro que B e C não podem coincidir. Se B=C, então tanto m quanto n passam pelos pontos A e B. Duas retas que passam por dois pontos distintos são a mesma reta, logo m=n. Isso contradiz a hipótese de que m e n são distintas. Portanto B\neq C.

Passo 5

Agora considere os pontos A, B e C. Como B e C estão sobre l e A não está sobre l (caso contrário m e n estariam sobre l), os três pontos A,B,C são não-colineares e formam o triângulo \triangle ABC.

Passo 6

Observe os ângulos em B e em C do triângulo \triangle ABC:
  • O segmento BA pertence à reta m e l é perpendicular a m, logo o ângulo \angle ABC é um ângulo reto, isto é, \angle ABC = 90^\circ.
  • O segmento CA pertence à reta n e l é perpendicular a n, logo o ângulo \angle ACB também é um ângulo reto, isto é, \angle ACB = 90^\circ.
Assim, no triângulo \triangle ABC temos dois ângulos retos. Mas isso é impossível porque a soma dos ângulos internos de um triângulo vale 180^\circ; ter dois ângulos de 90^\circ já soma 180^\circ, deixando 0^\circ para o terceiro ângulo, o que não pode ocorrer em um triângulo real.

Passo 7

Da contradição obtida no Passo 6 (triângulo com dois ângulos retos), concluímos que a hipótese inicial — de que m e n se interceptam — é falsa. Portanto m e n não se interceptam. Em outras palavras, duas retas distintas que são ambas perpendiculares a uma mesma reta não se cortam (são paralelas).

Resposta

As retas m e n não se interceptam.

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