A soma dos ângulos consecutivos de um trapézio é igual a 78^{\circ} e a sua diferença é 4^{\circ}. Determine o maior ângulo do trapézio.

Passo 1

O enunciado dá duas informações sobre dois ângulos consecutivos de um trapézio e solicita o maior ângulo do trapézio. Informações dadas:
  • A soma dos dois ângulos consecutivos é \;78^\circ.
  • A diferença entre esses dois ângulos é \;4^\circ.
Pergunta a responder:
  • Qual é o maior ângulo do trapézio (entre os quatro ângulos internos)?

Passo 2

Vamos identificar os dois ângulos consecutivos com variáveis. Escolho:
\alpha = \text{o maior dos dois ângulos consecutivos}â
\beta = \text{o menor dos dois ângulos consecutivos}â
Pelo enunciado temos o sistema de equações
\alpha+\beta=78^\circ
\alpha-\beta=4^\circ
Isso traduz em palavras: a soma é 78^\circ e a diferença (maior menos menor) é 4^\circ.

Passo 3

Resolvendo o sistema de equações lineares. Soma das duas equações:
(\alpha+\beta)+(\alpha-\beta)=78^\circ+4^\circ
2\alpha=82^\circ
\alpha=\frac{82^\circ}{2}=41^\circ.
Agora substituo \alpha em \alpha+\beta=78^\circ:
41^\circ+\beta=78^\circ
\beta=78^\circ-41^\circ=37^\circ.
Portanto os dois ângulos consecutivos valem \alpha=41^\circ e \beta=37^\circ.

Passo 4

Agora precisamos do maior ângulo do trapézio entre os quatro ângulos. Aqui entra uma propriedade geométrica importante (que vou explicar): em um trapézio as bases são retas paralelas; qualquer uma das laterais é uma transversal dessas paralelas. Ángulos internos consecutivos formados por uma transversal em duas paralelas são suplementares, ou seja, a soma desses ângulos é 180^\circ. Em termos simples: cada ângulo tem um ângulo adjacente do outro lado da lateral que satisfaz
\text{ângulo adjacente} = 180^\circ - \text{ângulo dado}.ââ
Aplicando isso aos nossos valores:
  • O ângulo adjacente (na outra base) ao ângulo \alpha=41^\circ vale
180^\circ-41^\circ=139^\circ.
  • O ângulo adjacente ao ângulo \beta=37^\circ vale
180^\circ-37^\circ=143^\circ.

Passo 5

Agora listamos os quatro ângulos do trapézio: 41^\circ,\;37^\circ,\;139^\circ,\;143^\circ.
Comparando, o maior é \;143^\circ. Esse é o ângulo suplementar ao \;37^\circ.

Resposta

143^\circ

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