Mostre que, se duas retas são paralelas e distintas, todo plano que contém uma delas e um ponto da outra, contém a outra.
Passo 1
Dados do enunciado: existem duas retas \,l_1 e \,l_2 que são paralelas e distintas. Há um plano \pi que contém toda a reta \,l_1 e contém também um ponto P pertencente à reta \,l_2.
O que devemos provar: que o plano \pi contém a reta inteira \,l_2; em símbolos, mostrar que \,l_2\subset\pi.
Passo 2
Escolho dois pontos distintos A e B sobre a reta \,l_1. Como \,l_1\subset\pi, temos A\in\pi e B\in\pi. Por hipótese também P\in\pi e P\in l_2. Anotei então três pontos A,B,P que estão no plano \pi.
Passo 3
Mostro que A, B e P não são colineares. Se fossem colineares, então P estaria na mesma reta que A e B, ou seja P\in l_1. Isso implicaria l_1\cap l_2\neq\varnothing, mas as retas são dadas como paralelas e distintas, logo não se intersectam. Contradição. Portanto A,B,P são três pontos não colineares.
Passo 4
Fato geométrico usado (explicado de forma intuitiva): três pontos não colineares determinam unicamente um plano. Como A,B,P são não colineares e todos pertencem a \pi, o plano determinado por A,B,P é justamente \pi. Vou usar isso para escrever \pi em forma vetorial: qualquer ponto X\in\pi pode ser escrito como combinação
X = A + s\,\overrightarrow{AB} + t\,\overrightarrow{AP},
com s,t\in\mathbb{R}. (Aqui \overrightarrow{AB} é o vetor de A para B e \overrightarrow{AP} o vetor de A para P.)
Passo 5
Como \,l_1 e \,l_2 são paralelas, a direção de \,l_2 é paralela à direção de \,l_1. Tomo
\vec{u}=\overrightarrow{AB},
que é um vetor diretor de \,l_1. Então um parâmetro da reta \,l_2 pode ser escrito (por existir um ponto P\in l_2) na forma
Q(t)=P + t\,\vec{u},\qquad t\in\mathbb{R},
ou seja, toda Q\in l_2 tem essa expressão.
Passo 6
Pegue um ponto arbitrário Q da reta \,l_2. Então Q=P+t\vec{u} para algum t\in\mathbb{R}. Escrevo Q em termos de A, \vec{u} e \overrightarrow{AP}:
Q = P + t\vec{u} = \bigl(A + \overrightarrow{AP}\bigr) + t\vec{u} = A + t\vec{u} + 1\cdot\overrightarrow{AP}.
Comparando com a forma geral dos pontos do plano \pi (Passo 4), vemos que Q é da forma A + s\,\overrightarrow{AB} + r\,\overrightarrow{AP} com s=t e r=1. Portanto Q\in\pi.
Passo 7
Como o ponto Q\in l_2 foi escolhido de forma arbitrária e acabamos de mostrar Q\in\pi, segue que toda a reta \,l_2 está contida em \pi. Assim concluímos que o plano que contém \,l_1 e um ponto de \,l_2 contém também toda \,l_2.