Prove que, se dois planos distintos têm um ponto comum, então a interseção desses planos é uma única reta que passa por aquele ponto.
Passo 1
O enunciado pede para provar que, dadas duas retas planos distintos que têm um ponto em comum, a interseção desses planos é exatamente uma única reta que passa por aquele ponto. Informações dadas e pontos importantes para guardar:
- Existem dois planos distintos; vou chamá‑los de
e . - Há pelo menos um ponto comum entre eles; chamo esse ponto de
. - O que preciso provar é que
é uma reta (única) que contém .
Passo 2
Como representar um plano de modo simples e útil: qualquer plano em
pode ser descrito por um vetor normal e um ponto que ele contém. Explico isso com calma. Seja
um vetor não nulo; o plano que passa por um ponto
e que tem
como normal é o conjunto de pontos
tais que
Aqui
é o produto escalar e a condição diz que o vetor
(vetor que liga
a
) é ortogonal a
.
Aplicando isso aos nossos dois planos: existirá um vetor normal para
e um vetor normal
para
. Como ambos os planos passam por
, podemos escrever
Aplicando isso aos nossos dois planos: existirá um vetor normal
Observação importante e intuitiva: se
fosse paralelo a
, os planos seriam paralelos (ou coincidentes). Mas eles têm um ponto em comum e são distintos, portanto
e
não são paralelos — ou seja, são linearmente independentes.
Passo 3
Construção do candidato a reta de interseção: um vetor que seja direcção da interseção deve ser ortogonal a ambos
e
. O produto vetorial fornece exatamente isso: defina
Propriedade do produto vetorial:
é ortogonal tanto a
quanto a
. Como
e
não são paralelos,
. Agora considere a reta parametrizada que passa por
com direcção
:
Vou mostrar que
(ou seja, toda essa reta está em ambos os planos).
Passo 4
Verificar que a reta
está em cada plano: tome um ponto genérico de
,
. Então
Mas
porque
é ortogonal a
. Logo
, o que mostra
. O mesmo raciocínio com
dá
, então
. Portanto
.
Passo 5
Provar que não existe outro ponto na interseção além dos pontos de
(unicidade): seja
qualquer ponto em
. Então
Isto significa que o vetor
é ortogonal a
e a
ao mesmo tempo. O espaço de todos os vetores ortogonais aos dois vetores
e
tem dimensão
(porque
são linearmente independentes em
, a ortogonal complementar de um subespaço de dimensão
é de dimensão
). Assim
é múltiplo de
; isto é, existe
tal que
. Portanto
. Isso mostra
.
Passo 6
Conclusão combinando as inclusões das etapas anteriores:
. Ou seja, a interseção dos dois planos é precisamente a reta parametrizada por
que passa por
e tem direcção
. (Um exemplo concreto para fixar a intuição: os planos
e
têm normais
e
; o produto vetorial é
e a interseção é o eixo
, a reta
.)