Prove que, se dois planos distintos têm um ponto comum, então a interseção desses planos é uma única reta que passa por aquele ponto.

Passo 1

O enunciado pede para provar que, dadas duas retas planos distintos que têm um ponto em comum, a interseção desses planos é exatamente uma única reta que passa por aquele ponto. Informações dadas e pontos importantes para guardar:
  • Existem dois planos distintos; vou chamá‑los de \Pi_1 e \Pi_2.
  • Há pelo menos um ponto comum entre eles; chamo esse ponto de P.
  • O que preciso provar é que \Pi_1\cap\Pi_2 é uma reta (única) que contém P.

Passo 2

Como representar um plano de modo simples e útil: qualquer plano em \mathbb{R}^3 pode ser descrito por um vetor normal e um ponto que ele contém. Explico isso com calma. Seja \mathbf{n} um vetor não nulo; o plano que passa por um ponto A e que tem \mathbf{n} como normal é o conjunto de pontos X tais que
\mathbf{n}\cdot (X-A)=0.
Aqui \cdot é o produto escalar e a condição diz que o vetor X-A (vetor que liga A a X) é ortogonal a \mathbf{n}.
Aplicando isso aos nossos dois planos: existirá um vetor normal \mathbf{n}_1 para \Pi_1 e um vetor normal \mathbf{n}_2 para \Pi_2. Como ambos os planos passam por P, podemos escrever
\Pi_1=\{X\in\mathbb{R}^3 \mid \mathbf{n}_1\cdot (X-P)=0\},
\Pi_2=\{X\in\mathbb{R}^3 \mid \mathbf{n}_2\cdot (X-P)=0\}.
Observação importante e intuitiva: se \mathbf{n}_1 fosse paralelo a \mathbf{n}_2, os planos seriam paralelos (ou coincidentes). Mas eles têm um ponto em comum e são distintos, portanto \mathbf{n}_1 e \mathbf{n}_2 não são paralelos — ou seja, são linearmente independentes.

Passo 3

Construção do candidato a reta de interseção: um vetor que seja direcção da interseção deve ser ortogonal a ambos \mathbf{n}_1 e \mathbf{n}_2. O produto vetorial fornece exatamente isso: defina
\mathbf{v}=\mathbf{n}_1\times\mathbf{n}_2.
Propriedade do produto vetorial: \mathbf{v} é ortogonal tanto a \mathbf{n}_1 quanto a \mathbf{n}_2. Como \mathbf{n}_1 e \mathbf{n}_2 não são paralelos, \mathbf{v}\neq\mathbf{0}. Agora considere a reta parametrizada que passa por P com direcção \mathbf{v}:
L=\{P+t\mathbf{v}\mid t\in\mathbb{R}\}.
Vou mostrar que L\subseteq\Pi_1\cap\Pi_2 (ou seja, toda essa reta está em ambos os planos).

Passo 4

Verificar que a reta L está em cada plano: tome um ponto genérico de L, X=P+t\mathbf{v}. Então
\mathbf{n}_1\cdot (X-P)=\mathbf{n}_1\cdot (t\mathbf{v})=t(\mathbf{n}_1\cdot\mathbf{v}).
Mas \mathbf{n}_1\cdot\mathbf{v}=0 porque \mathbf{v}=\mathbf{n}_1\times\mathbf{n}_2 é ortogonal a \mathbf{n}_1. Logo \mathbf{n}_1\cdot (X-P)=0, o que mostra X\in\Pi_1. O mesmo raciocínio com \mathbf{n}_2 \mathbf{n}_2\cdot (X-P)=0, então X\in\Pi_2. Portanto L\subseteq\Pi_1\cap\Pi_2.

Passo 5

Provar que não existe outro ponto na interseção além dos pontos de L (unicidade): seja Q qualquer ponto em \Pi_1\cap\Pi_2. Então
\mathbf{n}_1\cdot (Q-P)=0 \quad\text{e}\quad \mathbf{n}_2\cdot (Q-P)=0.
Isto significa que o vetor Q-P é ortogonal a \mathbf{n}_1 e a \mathbf{n}_2 ao mesmo tempo. O espaço de todos os vetores ortogonais aos dois vetores \mathbf{n}_1 e \mathbf{n}_2 tem dimensão 1 (porque \mathbf{n}_1,\mathbf{n}_2 são linearmente independentes em \mathbb{R}^3, a ortogonal complementar de um subespaço de dimensão 2 é de dimensão 1). Assim Q-P é múltiplo de \mathbf{v}=\mathbf{n}_1\times\mathbf{n}_2; isto é, existe t\in\mathbb{R} tal que Q-P=t\mathbf{v}. Portanto Q=P+t\mathbf{v}\in L. Isso mostra \Pi_1\cap\Pi_2\subseteq L.

Passo 6

Conclusão combinando as inclusões das etapas anteriores: L=\Pi_1\cap\Pi_2. Ou seja, a interseção dos dois planos é precisamente a reta parametrizada por
\{P+t(\mathbf{n}_1\times\mathbf{n}_2)\mid t\in\mathbb{R}\},
que passa por P e tem direcção \mathbf{n}_1\times\mathbf{n}_2. (Um exemplo concreto para fixar a intuição: os planos x=0 e y=0 têm normais (1,0,0) e (0,1,0); o produto vetorial é (0,0,1) e a interseção é o eixo z, a reta \{(0,0,t)\}.)

Resposta

\{P+t(\mathbf{n}_1\times\mathbf{n}_2)\mid t\in\mathbb{R}\}

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