Prove que, se uma reta é perpendicular a duas retas concorrentes de um plano, então ela é perpendicular ao plano.

Passo 1

O enunciado pede para provar a seguinte afirmação: se uma reta l é perpendicular a duas retas concorrentes m e n de um plano \pi, então l é perpendicular ao plano \pi.\n
Dados importantes que o enunciado fornece (vou listá-los explicitamente):
  • Há um plano \pi.
  • Duas retas m e n pertencem a \pi e se intersectam em um ponto P.
  • A reta l intercepta m e n em P (são concorrentes em P).
  • A reta l é perpendicular a m e também a n.
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A pergunta é: provar que, com essas hipóteses, a reta l é perpendicular ao plano \pi.

Passo 2

Definição clara e usada no argumento: o que significa “uma reta l é perpendicular a um plano \pi”?\n
Usaremos a definição padrão equivalente: uma reta l que intersecta o plano \pi em P é perpendicular a \pi se e somente se l é perpendicular a toda reta contida em \pi que passe por P. Em outras palavras, para qualquer reta q\subset\pi com P\in q, deve valer l\perp q.\n
Explico por que essa definição é boa: se uma reta é perpendicular a todas as direções dentro do plano em P, então ela forma um ângulo de 90^\circ com qualquer reta do plano que passe por P — isto captura geometricamente a ideia de “perpendicular ao plano”.

Passo 3

Escolha de um modelo conveniente (origem e vetores diretores) — por que isso facilita e é legal usar vetores aqui.\n
Coloco a origem no ponto P (podemos sempre fazer isso simplesmente escolhendo coordenadas). Associamos vetores às direções das retas:\n
\text{sejam } \mathbf{u} \text{ vetor diretor de } m,\quad \mathbf{v} \text{ vetor diretor de } n,\quad \mathbf{w} \text{ vetor diretor de } l.
Porque m e n se intersectam em P e são distintas, \mathbf{u} e \mathbf{v} não são colineares — isso significa que \mathbf{u} e \mathbf{v} geram (espalham) todo o plano \pi através de combinações lineares. Vou explicar isso melhor no próximo passo.

Passo 4

Explicando por que qualquer vetor contido em \pi (passando por P) é combinação linear de \mathbf{u} e \mathbf{v}.\n
Como m e n são duas direções diferentes do mesmo plano \pi que se cruzam em P, os vetores \mathbf{u} e \mathbf{v} são linearmente independentes (não existe \lambda tal que \mathbf{u}=\lambda\mathbf{v}). Em dimensão 3, dois vetores linearmente independentes determinam um subespaço de dimensão 2 — precisamente o plano \pi (passando por P). Logo, qualquer vetor \mathbf{x} que represente a direção de uma reta q\subset\pi com P\in q pode ser escrito como
\mathbf{x} = \alpha\,\mathbf{u} + \beta\,\mathbf{v}
para alguns escalares \alpha,\beta\in\mathbb{R}.\n
(Isto é apenas a noção de “base de um plano”: duas direções não colineares no plano formam uma base do plano.)

Passo 5

Introdução ao produto escalar (dot product) e relação com perpendicularidade — lenta e com exemplos.\n
O produto escalar entre dois vetores \mathbf{a} e \mathbf{b} é um número \mathbf{a}\cdot\mathbf{b} que, entre outras interpretações, satisfaz:
\mathbf{a}\cdot\mathbf{b} = \|\mathbf{a}\|\,\|\mathbf{b}\| \cos\theta,
onde \theta é o ângulo entre \mathbf{a} e \mathbf{b}. Assim, \mathbf{a} é perpendicular a \mathbf{b} se, e somente se, \mathbf{a}\cdot\mathbf{b}=0 (porque então \cos\theta=0 e \theta=90^\circ).\n
No nosso contexto, “ l é perpendicular a m” significa que \mathbf{w}\cdot\mathbf{u}=0. Similarmente, “ l é perpendicular a n” significa \mathbf{w}\cdot\mathbf{v}=0.

Passo 6

Passo algébrico central: provar que \mathbf{w} é ortogonal a qualquer vetor \mathbf{x} do plano.\n
Pegue um vetor arbitrário \mathbf{x} que representa a direção de uma reta q\subset\pi com P\in q. Pelas contas do Passo 4 existe \alpha,\beta tais que
\mathbf{x}=\alpha\,\mathbf{u}+\beta\,\mathbf{v}.
Agora calcule o produto escalar com \mathbf{w}:
\mathbf{w}\cdot\mathbf{x}=\mathbf{w}\cdot(\alpha\mathbf{u}+\beta\mathbf{v}) =\alpha(\mathbf{w}\cdot\mathbf{u})+\beta(\mathbf{w}\cdot\mathbf{v}).
Pelo que nos foi dado, \mathbf{w}\cdot\mathbf{u}=0 e \mathbf{w}\cdot\mathbf{v}=0. Portanto
\mathbf{w}\cdot\mathbf{x}=\alpha\cdot 0 + \beta\cdot 0 = 0.
Assim \mathbf{w} é ortogonal a \mathbf{x}. Como \mathbf{x} era a direção de uma reta arbitrária q de \pi passando por P, concluímos que \mathbf{w} é ortogonal a todas essas direções.

Passo 7

Concluir geometricamente que a reta l é perpendicular ao plano \pi.\n
Do Passo 6 vimos que o vetor diretor \mathbf{w} de l é perpendicular à direção de qualquer reta q\subset\pi que passe por P. Pela definição do Passo 2, isso significa exatamente que a reta l é perpendicular ao plano \pi.\n
Em palavras mais amigáveis: se uma reta corta o plano em P e forma ângulo reto com duas direções distintas do plano que se cruzam em P, então ela forma ângulo reto com qualquer outra direção do plano através de P — portanto é perpendicular ao plano inteiro.

Passo 8

Exemplo concreto e rápido para fixar a intuição (não parte da prova, apenas ilustração).\n
Considere o plano xy no espaço \mathbb{R}^3. Tome m a reta eixo x e n a reta eixo y, ambas intersectando-se em P=(0,0,0). A reta l sendo o eixo z tem vetor diretor \mathbf{w}=(0,0,1). Vetores diretores de m e n são \mathbf{u}=(1,0,0) e \mathbf{v}=(0,1,0). Temos \mathbf{w}\cdot\mathbf{u}=0 e \mathbf{w}\cdot\mathbf{v}=0, logo l é perpendicular a m e a n, e por consequência l é perpendicular ao plano xy. Isso bate com a intuição geométrica usual.

Resposta

A reta l é perpendicular ao plano \pi.

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