Prove que, se uma reta é perpendicular a duas retas concorrentes de um plano, então ela é perpendicular ao plano.
Passo 1
O enunciado pede para provar a seguinte afirmação: se uma reta
é perpendicular a duas retas concorrentes
e
de um plano
, então
é perpendicular ao plano
.\n
Dados importantes que o enunciado fornece (vou listá-los explicitamente):
Dados importantes que o enunciado fornece (vou listá-los explicitamente):
- •Há um plano \pi.
- •Duas retas m e n pertencem a \pi e se intersectam em um ponto P.
- •A reta l intercepta m e n em P (são concorrentes em P).
- •A reta l é perpendicular a m e também a n.
A pergunta é: provar que, com essas hipóteses, a reta
é perpendicular ao plano
.
Passo 2
Definição clara e usada no argumento: o que significa “uma reta
é perpendicular a um plano
”?\n
Usaremos a definição padrão equivalente: uma reta que intersecta o plano
em
é perpendicular a
se e somente se
é perpendicular a toda reta contida em
que passe por
. Em outras palavras, para qualquer reta
com
, deve valer
.\n
Explico por que essa definição é boa: se uma reta é perpendicular a todas as direções dentro do plano em , então ela forma um ângulo de
com qualquer reta do plano que passe por
— isto captura geometricamente a ideia de “perpendicular ao plano”.
Usaremos a definição padrão equivalente: uma reta
Explico por que essa definição é boa: se uma reta é perpendicular a todas as direções dentro do plano em
Passo 3
Escolha de um modelo conveniente (origem e vetores diretores) — por que isso facilita e é legal usar vetores aqui.\n
Coloco a origem no ponto (podemos sempre fazer isso simplesmente escolhendo coordenadas). Associamos vetores às direções das retas:\n
Coloco a origem no ponto
Porque
e
se intersectam em
e são distintas,
e
não são colineares — isso significa que
e
geram (espalham) todo o plano
através de combinações lineares. Vou explicar isso melhor no próximo passo.
Passo 4
Explicando por que qualquer vetor contido em
(passando por
) é combinação linear de
e
.\n
Como e
são duas direções diferentes do mesmo plano
que se cruzam em
, os vetores
e
são linearmente independentes (não existe
tal que
). Em dimensão 3, dois vetores linearmente independentes determinam um subespaço de dimensão 2 — precisamente o plano
(passando por
). Logo, qualquer vetor
que represente a direção de uma reta
com
pode ser escrito como
Como
para alguns escalares
.\n
(Isto é apenas a noção de “base de um plano”: duas direções não colineares no plano formam uma base do plano.)
(Isto é apenas a noção de “base de um plano”: duas direções não colineares no plano formam uma base do plano.)
Passo 5
Introdução ao produto escalar (dot product) e relação com perpendicularidade — lenta e com exemplos.\n
O produto escalar entre dois vetores e
é um número
que, entre outras interpretações, satisfaz:
O produto escalar entre dois vetores
onde
é o ângulo entre
e
. Assim,
é perpendicular a
se, e somente se,
(porque então
e
).\n
No nosso contexto, “ é perpendicular a
” significa que
. Similarmente, “
é perpendicular a
” significa
.
No nosso contexto, “
Passo 6
Passo algébrico central: provar que
é ortogonal a qualquer vetor
do plano.\n
Pegue um vetor arbitrário que representa a direção de uma reta
com
. Pelas contas do Passo 4 existe
tais que
Pegue um vetor arbitrário
Agora calcule o produto escalar com
:
Pelo que nos foi dado,
e
. Portanto
Assim
é ortogonal a
. Como
era a direção de uma reta arbitrária
de
passando por
, concluímos que
é ortogonal a todas essas direções.
Passo 7
Concluir geometricamente que a reta
é perpendicular ao plano
.\n
Do Passo 6 vimos que o vetor diretor de
é perpendicular à direção de qualquer reta
que passe por
. Pela definição do Passo 2, isso significa exatamente que a reta
é perpendicular ao plano
.\n
Em palavras mais amigáveis: se uma reta corta o plano em e forma ângulo reto com duas direções distintas do plano que se cruzam em
, então ela forma ângulo reto com qualquer outra direção do plano através de
— portanto é perpendicular ao plano inteiro.
Do Passo 6 vimos que o vetor diretor
Em palavras mais amigáveis: se uma reta corta o plano em
Passo 8
Exemplo concreto e rápido para fixar a intuição (não parte da prova, apenas ilustração).\n
Considere o plano no espaço
. Tome
a reta eixo
e
a reta eixo
, ambas intersectando-se em
. A reta
sendo o eixo
tem vetor diretor
. Vetores diretores de
e
são
e
. Temos
e
, logo
é perpendicular a
e a
, e por consequência
é perpendicular ao plano
. Isso bate com a intuição geométrica usual.
Considere o plano
Resposta
A reta
é perpendicular ao plano
.