Prove que, se uma reta é paralela a um plano e por um ponto do plano conduzimos uma reta paralela à reta dada, então a reta conduzida está contida no plano.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e faz a seguinte pergunta.
-
Dados:
- Uma reta
. - Um plano
. - Sabe-se que
é paralela ao plano (isto é, não intersecta ). - Um ponto
que pertence ao plano (ou seja, ). - Por
foi traçada uma reta tal que é paralela a (ou seja, e ).
- Uma reta
-
Pedido:
- Provar que a reta
está contida no plano (ou seja, provar que ).
- Provar que a reta
Passo 2
Relembrando (de forma simples) fatos geométricos que usaremos — e entendendo bem o que cada termo significa:
- "Reta
é paralela ao plano " significa que não tem nenhum ponto em comum com (ou seja, não intersecta ). Observação: nesse contexto, o ponto esteja em , então necessariamente (pois se e então teria interseção com , contradizendo ). - Dado uma reta e um ponto fora dela, existe um (e apenas um) plano contendo essa reta e o ponto. Ou seja, existe um plano
que contém e contém . - A interseção de dois planos distintos é sempre uma reta (ou é vazia, ou é todo o plano se forem o mesmo plano); no nosso caso os planos
e são distintos (porque contém e não contém ), então é uma reta. - Em um mesmo plano, duas retas que não se intersectam são paralelas.
Vou usar esses fatos de forma explícita e passo a passo.
Passo 3
Construção do plano
: seja
o plano que contém tanto a reta
quanto o ponto
. A existência e unicidade de
vem do fato padrão: uma reta e um ponto fora dela determinam um único plano.
Como
e
, o ponto
pertence à interseção
. Como
e
são planos distintos (pois
contém
e
não contém
), a interseção
é uma reta; chame essa reta de
. Logo
e
.
Passo 4
Provar que
é paralela a
.
- Se
intersectasse , então existiria um ponto comum entre e (porque ), o que contradiz a hipótese . Portanto e não se intersectam. - Como
e pertencem ao mesmo plano e não se intersectam, conclui-se que é paralela a (no sentido usual de retas em um plano).
Assim temos
,
e
.
Passo 5
Mostrar que a reta
(reta dada no enunciado, passa por
e é paralela a
) coincide com
, o que implica
.
Considere a reta
. Sabemos que
passa por
e que
. Agora construa o plano
determinado pelas retas
e
. Esse plano
existe porque
e
são paralelas e, sendo paralelas e distintas, determinam um único plano que as contém.
Observações dentro do plano
:
- Tanto
quanto pertencem ao plano ? Vamos verificar: e é a interseção de com ; contudo não precisamos afirmar diretamente que . O raciocínio pode ser feito apenas com a propriedade “duas retas distintas no mesmo plano que são paralelas a uma terceira reta são paralelas entre si”.
Mais direto: dentro do plano
(o plano que contém
e
), a reta
é paralela a
. Também vimos que existe em
(e portanto em
) uma reta
que é paralela a
e que passa em
. Agora note que
passa por
e é paralela a
; portanto, tanto
quanto
são retas que passam por
e são paralelas a
. Duas retas paralelas ao mesmo segmento-direção em geral são paralelas entre si quando estão no mesmo plano, e aqui ambas passam por
. A única maneira de duas retas serem paralelas e ao mesmo tempo ter um ponto em comum é coincidirem. Assim,
e
coincidem no ponto
e, por serem ambas paralelas a
, não podem ser distintas: seguem a mesma direção e interceptam-se em
, logo são a mesma reta.
Portanto
.
(Em palavras mais simples: há uma única reta em
passando por
e paralela a
; chamámos essa reta de
. A reta
também passa por
e é paralela a
; assim
só pode ser igual a
.)
Passo 6
Conclusão final lógica: como
e já estabelecemos
, segue que
. Ou seja, a reta conduzida
está contida no plano
, que era justamente o que precisávamos provar.