Prove que, se uma reta é paralela a um plano e por um ponto do plano conduzimos uma reta paralela à reta dada, então a reta conduzida está contida no plano.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e faz a seguinte pergunta.
  • Dados:
    • Uma reta l.
    • Um plano \Pi.
    • Sabe-se que l é paralela ao plano \Pi (isto é, l não intersecta \Pi).
    • Um ponto A que pertence ao plano \Pi (ou seja, A\in\Pi).
    • Por A foi traçada uma reta m tal que m é paralela a l (ou seja, m\parallel l e A\in m).
  • Pedido:
    • Provar que a reta m está contida no plano \Pi (ou seja, provar que m\subset\Pi).

Passo 2

Relembrando (de forma simples) fatos geométricos que usaremos — e entendendo bem o que cada termo significa:
  • "Reta l é paralela ao plano \Pi" significa que l não tem nenhum ponto em comum com \Pi (ou seja, não intersecta \Pi). Observação: nesse contexto, o ponto A esteja em \Pi, então necessariamente A\notin l (pois se A\in l e A\in\Pi então l teria interseção com \Pi, contradizendo l\parallel\Pi).
  • Dado uma reta e um ponto fora dela, existe um (e apenas um) plano contendo essa reta e o ponto. Ou seja, existe um plano \mathcal{Q} que contém l e contém A.
  • A interseção de dois planos distintos é sempre uma reta (ou é vazia, ou é todo o plano se forem o mesmo plano); no nosso caso os planos \mathcal{Q} e \Pi são distintos (porque \mathcal{Q} contém l e \Pi não contém l), então \mathcal{Q}\cap\Pi é uma reta.
  • Em um mesmo plano, duas retas que não se intersectam são paralelas.
Vou usar esses fatos de forma explícita e passo a passo.

Passo 3

Construção do plano \mathcal{Q}: seja \mathcal{Q} o plano que contém tanto a reta l quanto o ponto A. A existência e unicidade de \mathcal{Q} vem do fato padrão: uma reta e um ponto fora dela determinam um único plano.
Como A\in\Pi e A\in\mathcal{Q}, o ponto A pertence à interseção \mathcal{Q}\cap\Pi. Como \mathcal{Q} e \Pi são planos distintos (pois \mathcal{Q} contém l e \Pi não contém l), a interseção \mathcal{Q}\cap\Pi é uma reta; chame essa reta de r. Logo r=\mathcal{Q}\cap\Pi e A\in r.

Passo 4

Provar que r é paralela a l.
  • Se r intersectasse l, então existiria um ponto comum entre l e \Pi (porque r\subset\Pi), o que contradiz a hipótese l\parallel\Pi. Portanto r e l não se intersectam.
  • Como r e l pertencem ao mesmo plano \mathcal{Q} e não se intersectam, conclui-se que r é paralela a l (no sentido usual de retas em um plano).
Assim temos r\subset\Pi, A\in r e r\parallel l.

Passo 5

Mostrar que a reta m (reta dada no enunciado, passa por A e é paralela a l) coincide com r, o que implica m\subset\Pi.
Considere a reta m. Sabemos que m passa por A e que m\parallel l. Agora construa o plano \mathcal{S} determinado pelas retas l e m. Esse plano \mathcal{S} existe porque l e m são paralelas e, sendo paralelas e distintas, determinam um único plano que as contém.
Observações dentro do plano \mathcal{S}:
  • Tanto r quanto m pertencem ao plano \mathcal{S}? Vamos verificar: l\subset\mathcal{S} e r é a interseção de \mathcal{Q} com \Pi; contudo não precisamos afirmar diretamente que r\subset\mathcal{S}. O raciocínio pode ser feito apenas com a propriedade “duas retas distintas no mesmo plano que são paralelas a uma terceira reta são paralelas entre si”.
Mais direto: dentro do plano \mathcal{S} (o plano que contém l e m), a reta l é paralela a m. Também vimos que existe em \Pi (e portanto em \mathcal{Q}) uma reta r que é paralela a l e que passa em A. Agora note que r passa por A e é paralela a l; portanto, tanto m quanto r são retas que passam por A e são paralelas a l. Duas retas paralelas ao mesmo segmento-direção em geral são paralelas entre si quando estão no mesmo plano, e aqui ambas passam por A. A única maneira de duas retas serem paralelas e ao mesmo tempo ter um ponto em comum é coincidirem. Assim, m e r coincidem no ponto A e, por serem ambas paralelas a l, não podem ser distintas: seguem a mesma direção e interceptam-se em A, logo são a mesma reta.
Portanto m=r.
(Em palavras mais simples: há uma única reta em \Pi passando por A e paralela a l; chamámos essa reta de r. A reta m também passa por A e é paralela a l; assim m só pode ser igual a r.)

Passo 6

Conclusão final lógica: como m=r e já estabelecemos r\subset\Pi, segue que m\subset\Pi. Ou seja, a reta conduzida m está contida no plano \Pi, que era justamente o que precisávamos provar.

Resposta

m\subset\Pi

Exercícios relacionados