Mostre que a EDO é exata e encontre a solução.
2 x+3+(2 y-2) y^prime=0

Passo 1

O enunciado pede para mostrarmos que a EDO
2x + 3 + (2y - 2)y' = 0
é uma equação exata e, em seguida, obter a sua solução geral. O conteúdo aqui envolve reconhecer a forma exata de uma EDO e usar a teoria de funções potencial para resolvê-la. Vamos precisar identificar as funções M(x,y) e N(x,y), verificar se partial M/partial y = partial N/partial x e então encontrar uma função psi(x,y) tal que
partial psipartial x = Mepartial psipartial y = N

Passo 2

A EDO pode ser reescrita em forma diferencial como
(2x + 3),dx + (2y - 2),dy = 0
Dessa forma, temos
M(x,y) = 2x + 3, N(x,y) = 2y - 2
Calculamos as derivadas parciais:
partial Mpartial y = 0, partial Npartial x = 0
Como partial M/partial y = partial N/partial x, a equação é exata.

Passo 3

Agora vamos buscar a função potencial psi(x,y). Integramos M(x,y) em relação a x:
psi(x,y) = integral (2x + 3),dx = x^2 + 3x + h(y),
onde h(y) é uma função a determinar. Em seguida, usamos
partial psipartial y = h'(y) stackrel!= N(x,y) = 2y - 2
Integrando em relação a y obtemos
h(y) = integral (2y - 2),dy = y^2 - 2y + C1

Passo 4

Substituindo de volta em psi(x,y), a constante C1 pode ser absorvida na constante geral C. Logo a solução implícita é
psi(x,y) = x^2 + 3x + y^2 - 2y = C

Resposta

x^{2} + 3x + y^{2} - 2y = C

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