Mostre que a EDO é exata e encontre a solução.
Passo 1
O enunciado pede para mostrarmos que a EDO
é uma equação exata e, em seguida, obter a sua solução geral. O conteúdo aqui envolve reconhecer a forma exata de uma EDO e usar a teoria de funções potencial para resolvê-la. Vamos precisar identificar as funções
Passo 2
A EDO pode ser reescrita em forma diferencial como
Dessa forma, temos
Calculamos as derivadas parciais:
Como
Passo 3
Agora vamos buscar a função potencial
. Integramos
em relação a
:
onde
Integrando em relação a
obtemos
Passo 4
Substituindo de volta em
, a constante
pode ser absorvida na constante geral
. Logo a solução implícita é
Resposta
x^{2} + 3x + y^{2} - 2y = C