Mostre que a EDO
não é exata. A seguir, encontre um fator integrante
de tal forma que a EDO seja exata. [Não é permitido usar a fórmula pronta, fazer usando a ideia e desenvolver]
Passo 1
O enunciado nos dá a EDO
e pede para mostrarmos que ela não é exata e em seguida encontrarmos um fator integrante
que dependa apenas de
, de modo que a equação fique exata. Vamos precisar usar o conceito de exatidão de uma equação diferencial de primeira ordem e a ideia de fator integrante que dependa só de
.
Passo 2
Para verificar a exatidão, identificamos
e
. Calculamos
Como
Passo 3
Procuramos um fator integrante
. A condição geral sem usar fórmula pronta é exigir
Como
Logo
Integramos em
Podemos escolher
.
Passo 4
Multiplicando a EDO original por
, obtemos
que satisfaz agora
Isso mostra que a equação ficou exata com o fator integrante encontrado.
Resposta
Um fator integrante que depende só de
e torna a EDO exata é
.