Mostre que a EDO (3 x y+y^2)+(x^2+x y) y^prime=0 não é exata. A seguir, encontre um fator integrante mu(x) de tal forma que a EDO seja exata. [Não é permitido usar a fórmula pronta, fazer usando a ideia e desenvolver]

Passo 1

O enunciado nos dá a EDO (3xy+y^2)+(x^2+xy)y'=0 e pede para mostrarmos que ela não é exata e em seguida encontrarmos um fator integrante mu(x) que dependa apenas de x, de modo que a equação fique exata. Vamos precisar usar o conceito de exatidão de uma equação diferencial de primeira ordem e a ideia de fator integrante que dependa só de x.

Passo 2

Para verificar a exatidão, identificamos M(x,y)=3xy+y^2 e N(x,y)=x^2+xy. Calculamos
My=partialpartial y(3xy+y^2)=3x+2y,
Nx=partialpartial x(x^2+xy)=2x+y
Como Myneq Nx de modo geral (pois 3x+2yneq2x+y), a EDO não é exata.

Passo 3

Procuramos um fator integrante mu(x). A condição geral sem usar fórmula pronta é exigir
l(mu Mr)y=l(mu Nr)x
Como mu depende só de x, isso leva a
mu(My-Nx)=mu'(x),N
Logo
mu'mu=My-NxN = (3x+2y)-(2x+y)x^2+xy=x+yx(x+y)=1x
Integramos em x:
lnmu=integral1x,dx=ln x + CLongrightarrowmu(x)=Cx
Podemos escolher mu(x)=x.

Passo 4

Multiplicando a EDO original por mu(x)=x, obtemos
(3x^2y+xy^2)+(x^3+x^2y)y'=0,
que satisfaz agora
partialpartial y(3x^2y+xy^2)=3x^2+2xy=partialpartial x(x^3+x^2y)
Isso mostra que a equação ficou exata com o fator integrante encontrado.

Resposta

Um fator integrante que depende só de x e torna a EDO exata é mu(x)=x.

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