Resolva as seguintes equações diferenciais ordinárias (ou PVI):
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial juntos! O enunciado pede para resolver a seguinte equação diferencial ordinária com condição inicial:
Vamos precisar usar o método de Bernoulli para resolver essa equação. Esse método é útil para equações diferenciais que têm termos não lineares, como o $ y^{3} $ que aparece aqui.
Passo 2
Primeiro, vamos reorganizar a equação para deixá-la no formato padrão de Bernoulli:
Aqui, identificamos $ P(t) = \frac{2}{t} $ e $ Q(t) = \frac{1}{t^{2}} $. A equação está no formato:
com $ n = 3 $.
Passo 3
Para resolver essa equação, fazemos a substituição $ z = y^{1 - n} = y^{-2} $. Vamos calcular a derivada de $ z $:
Agora, substituímos $ y^{\prime} $ na equação original:
Dividindo tudo por $ y^{3} $:
Lembrando que $ z = y^{-2} $:
Multiplicando todos os termos por $ -2 $ para simplificar:
Passo 4
Agora, temos uma equação diferencial linear para $ z $:
onde $ P(t) = -\frac{4}{t} $ e $ Q(t) = -\frac{2}{t^{2}} $.
Para resolver, vamos encontrar o fator integrante $ \mu(t) $:
Passo 5
Multiplicamos a equação inteira pelo fator integrante:
Simplificando:
Agora, integramos ambos os lados em relação a $ t $:
Integrando o lado direito:
Multiplicando ambos os lados por $ t^{4} $:
Passo 6
Lembrando que $ z = y^{-2} $, temos:
Tomando o inverso:
Simplificando a expressão:
Isso porque aplicamos a condição inicial $ y(\pi) = 0 $ para determinar a constante $ C $.
Resposta
A solução da equação diferencial dada é: