Resolva as seguintes equações diferenciais ordinárias (ou PVI):

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial juntos! O enunciado pede para resolver a seguinte equação diferencial ordinária com condição inicial:
t^2 y^prime + 2 t y - y^3 = 0 y(pi) = 0, t > 0
Vamos precisar usar o método de Bernoulli para resolver essa equação. Esse método é útil para equações diferenciais que têm termos não lineares, como o $ y^{3} $ que aparece aqui.

Passo 2

Primeiro, vamos reorganizar a equação para deixá-la no formato padrão de Bernoulli:
y^prime + 2t y = y^3t^2
Aqui, identificamos $ P(t) = \frac{2}{t} $ e $ Q(t) = \frac{1}{t^{2}} $. A equação está no formato:
P(t) = 2t
com $ n = 3 $.

Passo 3

Para resolver essa equação, fazemos a substituição $ z = y^{1 - n} = y^{-2} $. Vamos calcular a derivada de $ z $:
z = y^1 - n = y^-2
Agora, substituímos $ y^{\prime} $ na equação original:
z
Dividindo tudo por $ y^{3} $:
z^prime = -2 y^-3 y^prime
Lembrando que $ z = y^{-2} $:
y^prime
Multiplicando todos os termos por $ -2 $ para simplificar:
- 12 y^3 z^prime + 2t y - y^3t^2 = 0

Passo 4

Agora, temos uma equação diferencial linear para $ z $:
z
onde $ P(t) = -\frac{4}{t} $ e $ Q(t) = -\frac{2}{t^{2}} $.
Para resolver, vamos encontrar o fator integrante $ \mu(t) $:
z^prime + P(t) z = Q(t)

Passo 5

Multiplicamos a equação inteira pelo fator integrante:
t^-4 z^prime - 4t t^-4 z = -2t^2 t^-4
Simplificando:
ddt (t^-4 z) = -2 t^-6
Agora, integramos ambos os lados em relação a $ t $:
t
Integrando o lado direito:
t^-4 z = integral -2 t^-6 dt + C
Multiplicando ambos os lados por $ t^{4} $:
t^-4 z = 25 t^-5 + C

Passo 6

Lembrando que $ z = y^{-2} $, temos:
z = y^-2
Tomando o inverso:
y^-2 = 25 cdot 1t + C t^4
Simplificando a expressão:
y^2 = 125 cdot 1t + C t^4
Isso porque aplicamos a condição inicial $ y(\pi) = 0 $ para determinar a constante $ C $.

Resposta

A solução da equação diferencial dada é:
y(t) = raiz, dfrac5 t,2(1 - (t,pi)^5),

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