Resolva os PVI’s abaixo:
ld yd t=9 t^2+y-14 y-t y(1)=0

Passo 1

Resumo do enunciado: temos o PVI dydt=9t^2+y-14y-t, com condição inicial y(1)=0. O conteúdo é EDO de primeira ordem na forma exata. Vamos verificar se dá para escrever como M(t,y),dt+N(t,y),dy=0, checar exatidão, achar a função potencial e usar a condição inicial.

Passo 2

Colocamos em forma diferencial:
(9t^2+y-1),dt-(4y-t),dy=0,
onde definimos M(t,y)=9t^2+y-1 e N(t,y)=-l(4y-tr)=t-4y.

Passo 3

Verificamos exatidão:
partial Mpartial y=1, partial Npartial t=1,
logo a equação é exata.

Passo 4

Procuramos phi(t,y) com
partialphipartial t=M=9t^2+y-1 e partialphipartial y=N=t-4y

Passo 5

Integramos phit em relação a t:
phi(t,y)=integral(9t^2+y-1),dt=3t^3+yt-t+h(y)
Daí
phiy=t+h'(y)
deve ser igual a t-4y, então h'(y)=-4y e
h(y)=-2y^2+C1

Passo 6

Assim a solução geral implícita é
3t^3+yt-t-2y^2=C

Passo 7

Aplicamos a condição inicial y(1)=0:
3cdot1^3+0cdot1-1-2cdot0^2=3-1=2
logo C=2 e a solução particular implícita fica
3t^3+yt-t-2y^2=2

Passo 8

Isolando y: temos a equação quadrática
-2y^2+ty+(3t^3-t-2)=0
cuja solução é
y=tpmraizt^2+8(3t^3-t-2)4

Passo 9

Para satisfazer y(1)=0 escolhemos o sinal “−”.

Resposta

y=dfract-raiz24t^3+t^2-8t-164

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