Resolva as seguintes equações diferenciais:

Passo 1

O enunciado diz para resolver a equação diferencial
y = x,y' + 1 - lnl|y'r|
Logo o conteúdo que vamos usar é a forma de Clairaut, em que se escreve
y = x,p + f(p), p = y'

Passo 2

Em uma equação de Clairaut da forma y = x,p + f(p):
– A solução geral é obtida fixando p = C e escrevendo
y = Cx + f(C)
– A solução singular (envelope) vem da condição
0 = x + f'(p),
resolvendo para p e substituindo de volta.

Passo 3

Aqui temos
f(p) = 1 - ln|p|,
logo
f'(p) = -1p
Pela regra da solução geral:
y = Cx + 1 - ln|C|

Passo 4

Para achar a solução singular usamos
0 = x + f'(p) = x - 1p
logo
p = 1x
Substituindo em y = x p + 1 - ln|p|
y = xcdot1x + 1 - lnl|1xr| = 1 + 1 - ( -ln x ) = 2 + ln x

Passo 5

Portanto a solução completa é composta por:
  • Família geral de retas
y = Cx + 1 - ln|C|,
onde C é constante;
  • Solução singular (envelope)
y = ln x + 2,
válida para x>0.

Resposta

A solução geral é
y = C,x + 1 - ln|C|,
e a solução singular (envelope) é
y = ln x + 2

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