Verifique em cada caso se os pontos são coplanares.
A(0,2,-2), B(-1,0,-2), C(-2,-1,-3) e D(1,1,1)

Passo 1

Temos quatro pontos em R^3:
A(0,2,-2), B(-1,0,-2), C(-2,-1,-3), D(1,1,1)
O conteúdo é verificar coplanaridade usando o produto misto (ou escalar triplo) de vetores. Lembrando que quatro pontos são coplanares se, ao tomar três vetores formados a partir de um mesmo ponto, o produto misto desses vetores for zero.

Passo 2

Escolhemos o ponto A como origem dos vetores e calculamos
AB=B-A=(-1-0,;0-2,;-2+2)=(-1,-2,0),
AC=C-A=(-2-0,;-1-2,;-3+2)=(-2,-3,-1),
AD=D-A=(1-0,;1-2,;1+2)=(1,-1,3)

Passo 3

Calculamos o produto vetorial ACtimesAD e, em seguida, o produto escalar com AB:
ACtimesAD =l((-3)cdot3 - (-1)cdot(-1),; -l((-2)cdot3 - (-1)cdot1r),; (-2)cdot(-1)-(-3)cdot1r) =(-10,,5,,5)
Agora o produto misto:
ABcdot(ACtimesAD) =(-1)cdot(-10)+(-2)cdot5+0cdot5 =10-10+0 =0
Como o produto misto é zero, os vetores são linearmente dependentes e, portanto, os quatro pontos são coplanares.

Resposta

Os pontos A, B, C e D são coplanares.

Exercícios relacionados