Obtenha a solução das seguintes EDOs, representando-as graficamente e discutindo-as.
y^prime prime+4 y^prime+5 y=[1-u(t-10)] e^t-e^10 de

Passo 1

O enunciado pede para resolver a EDO de 2ª ordem com coeficientes constantes e forçamento misto: termo contínuo até t=10 e impulso em t=10. As condições iniciais são y(0)=0 e y′(0)=1. Vamos usar método de coeficientes indeterminados para 0≤t<10 e depois tratar o salto causado por δ(t−10) para t>10.

Passo 2

A equação homogênea associada é y′′+4y′+5y=0. A equação característica é
r^2+4r+5=0
que tem raízes r=−2±j1. Logo a solução homogênea é
yh(t)=e^-2tl(C,cos t + D,sin tr)

Passo 3

Para 0≤t<10 o forçamento é f(t)=e^t. Assumimos particular da forma y_p=K e^t. Substituindo em
y''+4y'+5y=e^t
vem
(1+4+5)K e^t=10K e^t=e^t
logo K=1/10. A solução geral para t<10 é
y1(t)=e^-2t(C1cos t + D1sin t)+tfrac110e^t

Passo 4

Impondo as condições iniciais avaliamos y_1(0)=0 e y_1’(0)=1. Primeiro
y1(0)=C1+tfrac110=0implies C1=-tfrac110
Derivando e avaliando em t=0:
y1'(0)=-2C1+D1+tfrac110=1implies -2(-tfrac110)+D1+tfrac110=1implies D1=tfrac710
Portanto
y1(t)=e^-2tl(-tfrac110cos t+tfrac710sin tr)+tfrac110e^t

Passo 5

No instante t=10 aparece o impulso −e^{10},δ(t−10). Integrando a EDO em torno de t=10, y é contínua em t=10, e y′ sofre salto de magnitude −e^{10}. Assim
y(10+)=y1(10),
y'(10+)=y1'(10)-e^10

Passo 6

Para t>10 o forçamento é zero, então a solução é puramente homogênea com nova origem em τ=t−10:
y2(t)=e^-2tau(C2costau+D2sintau), tau=t-10
As constantes são:
C2=y1(10),
D2=y'(10+)+2y1(10)=y1'(10)-e^10+2y1(10)
Logo
y2(t)=e^-2(t-10)l(y1(10)cos(t-10)+[y1'(10)-e^10+2y1(10)]sin(t-10)r)

Passo 7

Graficamente, y(t) cresce exponencialmente acompanhado de oscilação amortecida até t=10, quando ocorre o impulso que ajusta a derivada e a partir daí y(t) passa a oscilar amortecidamente e decair para zero como resposta homogênea decrescente.

Resposta

e^-2tl(-tfrac110cos t+tfrac710sin tr)+tfrac110e^t,&0<= t<10, e^-2(t-10)l(y1(10)cos(t-10)+[y1'(10)-e^10+2y1(10)]sin(t-10)r),&t>=10,
onde
y1(10)=e^-20l(-tfrac110cos10+tfrac710sin10r)+tfrac110e^10,
y1'(10)= -2e^-20l(-tfrac110cos10+tfrac710sin10r)+e^-20l(tfrac110sin10+tfrac710cos10r)+tfrac110e^10

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