Obtenha a solução das seguintes EDOs, representando-as graficamente e discutindo-as.
Passo 1
O enunciado pede para resolver a EDO de 2ª ordem com coeficientes constantes e forçamento misto: termo contínuo até t=10 e impulso em t=10. As condições iniciais são y(0)=0 e y′(0)=1. Vamos usar método de coeficientes indeterminados para 0≤t<10 e depois tratar o salto causado por δ(t−10) para t>10.
Passo 2
A equação homogênea associada é y′′+4y′+5y=0. A equação característica é
que tem raízes r=−2±j1. Logo a solução homogênea é
Passo 3
Para 0≤t<10 o forçamento é f(t)=e^t. Assumimos particular da forma y_p=K e^t. Substituindo em
vem
logo K=1/10. A solução geral para t<10 é
Passo 4
Impondo as condições iniciais avaliamos y_1(0)=0 e y_1’(0)=1. Primeiro
Derivando e avaliando em t=0:
Portanto
Passo 5
No instante t=10 aparece o impulso −e^{10},δ(t−10). Integrando a EDO em torno de t=10, y é contínua em t=10, e y′ sofre salto de magnitude −e^{10}. Assim
Passo 6
Para t>10 o forçamento é zero, então a solução é puramente homogênea com nova origem em τ=t−10:
As constantes são:
Logo
Passo 7
Graficamente, y(t) cresce exponencialmente acompanhado de oscilação amortecida até t=10, quando ocorre o impulso que ajusta a derivada e a partir daí y(t) passa a oscilar amortecidamente e decair para zero como resposta homogênea decrescente.
Resposta
onde