Exercício 7: lim an=L e lim bn=L seqüências de números reais tais que e . Prove que .

Passo 1

Resumindo o enunciado: temos duas sequências reais an e bn tais que lim an = L e lim(an - bn) = 0. O conteúdo principal aqui é definição de limite de sequência e a propriedade da soma (diferença) de limites.

Passo 2

Para relacionar bn com an e an - bn, escrevemos
bn = an - (an - bn)
e, subtraindo L, obtemos
bn - L = (an - L) - (an - bn)
Agora aplicamos a desigualdade triangular para estimar o valor absoluto:

Passo 3

Seja varepsilon>0. Como lim an = L, existe N1 tal que para todo n>= N1
|an - L| < varepsilon2
E como lim(an - bn)=0, existe N2 tal que para todo n>= N2
|an - bn| < varepsilon2

Passo 4

Tomando N = max(N1, N2), para todo n>= N temos
|bn - L| = |(an - L) - (an - bn)| <= |an - L| + |an - bn| < varepsilon2 + varepsilon2 = varepsilon
Isso mostra, pela definição de limite de sequência, que lim bn = L.

Resposta

limntoinftybn = L

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