Exercício 7:
e
seqüências de números reais tais que
e
. Prove que
.
Passo 1
Resumindo o enunciado: temos duas sequências reais
e
tais que
e
. O conteúdo principal aqui é definição de limite de sequência e a propriedade da soma (diferença) de limites.
Passo 2
Para relacionar
com
e
, escrevemos
e, subtraindo
, obtemos
Agora aplicamos a desigualdade triangular para estimar o valor absoluto:
Passo 3
Seja
. Como
, existe
tal que para todo
E como
, existe
tal que para todo
Passo 4
Tomando
, para todo
temos
Isso mostra, pela definição de limite de sequência, que
.