Mostre como encontrar a derivada f^prime(x) das funções abaixo
f(x)=raizx^3 em x=8

Passo 1

A função dada é f(x)=\sqrt{x^3}, e o objetivo é encontrar f’(x) e depois avaliar em x=8. O conteúdo principal aqui é a derivada de funções potenciais, usando a regra do expoente.

Passo 2

Reescrevendo a raiz como potência, temos
f(x)=raizx^3=(x^3)^tfrac12=x^tfrac32
Isso facilita aplicar a regra de derivação.

Passo 3

Pela regra de potência, se f(x)=x^n então f’(x)=n,x^{n-1}. Aplicando a n=3/2, obtemos
f'(x)=32,x^tfrac32-1=32,x^tfrac12

Passo 4

Para encontrar f’(8), basta substituir x=8 em f’(x):
f'(8)=32,raiz8
Como raiz8=2raiz2, segue que
f'(8)=32times2raiz2=3raiz2

Resposta

f’(x)=\frac{3}{2}x^{\tfrac12}, logo f’(8)=3\sqrt{2}

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