Encontre a temperatura de uma barra cuja extremidade esquerda é mantida a
, a extremidade direita é isolada
] e a temperatura inicial é constante igual a
.
Passo 1
O enunciado pede a temperatura T(x,t) de uma barra de comprimento L sujeita à equação do calor
, com condição de contorno Dirichlet em x=0 (
), Neumann em x=L (
) e condição inicial constante
. Vamos usar separação de variáveis e expansão em série de Fourier adaptada a essas condições.
Passo 2
Para aplicar separação de variáveis, assumimos
. Substituindo na PDE
e dividindo por
obtemos
com as condições em X:
O problema de autovalores é
que tem soluções não-triviais para
Passo 3
O princípio de superposição nos dá a forma geral
Para determinar os coeficientes
, usamos a condição inicial
Como as funções
formam um sistema ortogonal em
, temos
Passo 4
Calculando a integral do denominador e usando
, obtém-se
e a integral do numerador satisfaz
porque
faz
. Assim
Passo 5
Por fim, reunindo tudo, a série vale