Encontre a temperatura de uma barra cuja extremidade esquerda é mantida a 0^circ C[T(0, t)=0], a extremidade direita é isolada 120^circ C[T(x, 0)=120] ] e a temperatura inicial é constante igual a .

Passo 1

O enunciado pede a temperatura T(x,t) de uma barra de comprimento L sujeita à equação do calor Tt=α^2Txx, com condição de contorno Dirichlet em x=0 ( T(0,t)=0), Neumann em x=L ( Tx(L,t)=0) e condição inicial constante T(x,0)=120. Vamos usar separação de variáveis e expansão em série de Fourier adaptada a essas condições.

Passo 2

Para aplicar separação de variáveis, assumimos T(x,t)=X(x)G(t). Substituindo na PDE Tt=α^2Txx e dividindo por α^2 XG obtemos
1α^2GG'(t)=1XX''(x)=-λ
com as condições em X:
X(0)=0,
X'(L)=0
O problema de autovalores é
X''+λX=0,
X(0)=0,
X'(L)=0
que tem soluções não-triviais para
λn=l((2n+1)π2Lr)^2,
Xn(x)=sinl((2n+1)π2Lxr),
Gn(t)=e^-α^2λn t

Passo 3

O princípio de superposição nos dá a forma geral
T(x,t)=sumn=0^inftyAn,e^-α^2l((2n+1)π2Lr)^2tsinl((2n+1)π2Lxr)
Para determinar os coeficientes An, usamos a condição inicial
T(x,0)=120=sumn=0^inftyAnsinl((2n+1)π2Lxr)
Como as funções sin((2n+1)πx2L) formam um sistema ortogonal em [0,L], temos
An=2integral0^Lsin^2l((2n+1)πx2Lr)dxintegral0^L120sinl((2n+1)π2Lxr)dx

Passo 4

Calculando a integral do denominador e usando kn=(2n+1)π2L, obtém-se
integral0^Lsin^2(kn x)dx=L2,
e a integral do numerador satisfaz
integral0^Lsin(kn x)dx=1-cos(knL)kn=1-0kn=1kn,
porque knL=(2n+1)π/2 faz cos(knL)=0. Assim
An=2L/2times120times1kn=480(2n+1)π

Passo 5

Por fim, reunindo tudo, a série vale
T(x,t)=sumn=0^infty480(2n+1)π,expl(-α^2(2n+1)^2π^24L^2tr)sinl((2n+1)π2Lxr)

Resposta

T(x,t)=sumn=0^infty480(2n+1)πexpl(-α^2tfrac(2n+1)^2π^24L^2tr)sinl(tfrac(2n+1)π2Lxr)

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