Faça o que pede em cada item, sem utilizar a regra de L’Hospital:
M ostre que:
lim x 2 raiz[3]x-raiz[3]2x-2=13 raiz[3]4

Passo 1

O enunciado pede para calcular o limite
limxto 2raiz[3]x-raiz[3]2x-2
sem usar L’Hospital. Esse tipo de limite lembra a definição de derivada de f(x)=raiz[3]x em x=2, mas a ideia aqui é usar fatoração algébrica (diferença de cubos).

Passo 2

Ao substituir diretamente x=2 vemos que o numerador e o denominador viram zero, ou seja, temos uma forma indeterminada 0/0. Para resolver sem L’Hospital, definimos
a=raiz[3]x, b=raiz[3]2,
logo x=a^3 e 2=b^3.

Passo 3

Usamos a identidade algébrica da diferença de cubos:
a^3-b^3=(a-b)l(a^2+ab+b^2r)
Substituindo a=raiz[3]x e b=raiz[3]2, obtemos
x-2=(raiz[3]x-raiz[3]2)l((raiz[3]x)^2+raiz[3]x,raiz[3]2+(raiz[3]2)^2r)

Passo 4

Isso permite reescrever o quociente como
raiz[3]x-raiz[3]2x-2= 1(raiz[3]x)^2+raiz[3]x,raiz[3]2+(raiz[3]2)^2

Passo 5

Agora basta tirar o limite quando xto 2. Nesse caso raiz[3]xtoraiz[3]2, então o denominador tende a
(raiz[3]2)^2+raiz[3]2,raiz[3]2+(raiz[3]2)^2=3(raiz[3]2)^2=3raiz[3]4
Logo o limite vale 1/(3raiz[3]4).

Resposta

13raiz[3]4

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