Faça o que pede em cada item, sem utilizar a regra de L’Hospital:
M ostre que:
M ostre que:
Passo 1
O enunciado pede para calcular o limite
sem usar L’Hospital. Esse tipo de limite lembra a definição de derivada de
em
, mas a ideia aqui é usar fatoração algébrica (diferença de cubos).
Passo 2
Ao substituir diretamente
vemos que o numerador e o denominador viram zero, ou seja, temos uma forma indeterminada
. Para resolver sem L’Hospital, definimos
logo
e
.
Passo 3
Usamos a identidade algébrica da diferença de cubos:
Substituindo
e
, obtemos
Passo 4
Isso permite reescrever o quociente como
Passo 5
Agora basta tirar o limite quando
. Nesse caso
, então o denominador tende a
Logo o limite vale
.