Mostre como encontrar a derivada f^prime(x) das funções abaixo
f(x)=raizx sen(x) em x=pi

Passo 1

A tarefa é encontrar a derivada de
f(x)=raizx,sen(x)
e depois calcular o valor de f'(x) em x=pi. O conteúdo principal é a regra do produto e a derivada da função raiz quadrada.

Passo 2

A regra do produto para duas funções u(x) e v(x) diz que
(u,v)' = u',v + u,v'
Então, se identificarmos u(x) e v(x), basta aplicar essa fórmula.

Passo 3

Vamos definir
u(x)=raizx=x^1/2,
v(x)=sen(x)
Suas derivadas são
u'(x)=12raizx,
v'(x)=cos(x)

Passo 4

Aplicando a regra do produto em f(x)=u(x),v(x) obtemos
f'(x)=u'(x),v(x)+u(x),v'(x) =12raizx,sen(x)+raizx,cos(x)

Passo 5

Agora basta avaliar em x=pi:
f'(pi)=12raizpi,sen(pi)+raizpi,cos(pi)
Como sen(pi)=0 e cos(pi)=-1, temos
f'(pi)=0+raizpi,(-1)=-raizpi

Resposta

(-\sqrt{\pi})

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