Mostre como encontrar a derivada segunda (f^prime prime(x)) das funções abaixo
f(x)=x sen(x) em x=pi

Passo 1

O enunciado pede a derivada segunda de f(x)=x sen(x) em x=π. O conteúdo envolve a regra do produto e as derivadas das funções trigonométricas sin(x) e cos(x), pois vamos derivar um produto de funções.

Passo 2

Primeiro, calculamos a primeira derivada. Aplicando a regra do produto a f(x)=xsin(x):
f'(x)=ddx[x]cdotsin(x)+xcdotddx[sin(x)] =1cdotsin(x)+xcdotcos(x) =sin(x)+xcos(x)

Passo 3

Em seguida, derivamos f'(x) para obter f''(x). Usamos a soma e a regra do produto em xcos(x):
f''(x)=ddx[sin(x)]+ddx[xcos(x)] =cos(x)+l(1cdotcos(x)+xcdot(-sin(x))r) =2cos(x)-xsin(x)

Passo 4

Por fim, avaliamos em x=pi. Sabendo que cos(pi)=-1 e sin(pi)=0, temos:
f''(pi)=2cos(pi)-pisin(pi)=2(-1)-picdot0=-2

Resposta

-2

Exercícios relacionados