Mostre como encontrar a derivada segunda (f^prime prime(x)) das funções abaixo
f(x)=2 x^3 e^x em x=2

Passo 1

A questão pede para encontrar a derivada segunda de f(x)=2x3ex e, em seguida, avaliar essa segunda derivada em x=2. O conteúdo necessário inclui a regra do produto para derivação ($ (uv)’=u’v+uv’ $) e a derivada de (uv)'=u'v+uv' , que é ela própria.

Passo 2

Para calcular a primeira derivada, aplicamos a regra do produto a u=2x^3 e v=e^x:
f'(x)=u'v+uv'=6x^2e^x+2x^3e^x
Em seguida, podemos fatorar 2x^2e^x:
f'(x)=2x^2e^x(3+x)

Passo 3

Agora vamos derivar f'(x)=6x^2e^x+2x^3e^x para obter f''(x). Aplicamos a regra do produto em cada termo:
Para 6x^2e^x:
(6x^2e^x)'=12x e^x+6x^2e^x
Para 2x^3e^x:
(2x^3e^x)'=6x^2e^x+2x^3e^x
Somando ambos, resulta:
f''(x)=12x e^x+12x^2e^x+2x^3e^x

Passo 4

Por fim, avaliamos f''(x) em x=2:
f''(2)=e^2igl(12cdot2+12cdot4+2cdot8r)=e^2(24+48+16)=88e^2 

Resposta

f''(2)=88e^2

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