Mostre como encontrar a derivada segunda (f^prime prime(x)) das funções abaixo
f(x)=raizx sen(x) em x=pi

Passo 1

A gente quer a derivada segunda de f(x)=√x·sen(x) em x=π. O conteúdo principal aqui é a regra do produto (para multiplicação de funções) e a regra da cadeia (para derivar potências).

Passo 2

Para achar f′(x), defino u(x)=x^{1/2} e v(x)=sen(x). Assim u′(x)=\frac1{2√x} e v′(x)=cos(x). Aplicando a regra do produto:
f(x)=u(x)v(x)+u(x)v(x)=12√xsin(x)+√xcos(x)

Passo 3

Agora derivamos f′(x) para obter f″(x). Divido em dois termos:
f(x)= ddxl(tfrac12x^-1/2sin xr)+ ddxl(x^1/2cos xr)
Para o primeiro termo, uso produto:
ddx(tfrac12x^-1/2sin x)=-tfrac14x^-3/2sin x+tfrac12x^-1/2cos x
Para o segundo termo, também produto:
ddx(x^1/2cos x)=tfrac12x^-1/2cos x - x^1/2sin x
Somando e simplificando os termos semelhantes dá:
f(x)=-tfrac14x^-3/2sin x + x^-1/2cos x - x^1/2sin x

Passo 4

Finalmente, avalio em x=π. Como sin(π)=0 e cos(π)=−1, os termos com sin(π) somem e sobra:
f(π)=π^-1/2·(−1)=-1√π

Resposta

-1raizpi

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