Mostre como encontrar a derivada segunda
das funções abaixo
em
Passo 1
A gente quer a derivada segunda de f(x)=√x·sen(x) em x=π. O conteúdo principal aqui é a regra do produto (para multiplicação de funções) e a regra da cadeia (para derivar potências).
Passo 2
Para achar f′(x), defino u(x)=x^{1/2} e v(x)=sen(x). Assim u′(x)=\frac1{2√x} e v′(x)=cos(x). Aplicando a regra do produto:
Passo 3
Agora derivamos f′(x) para obter f″(x). Divido em dois termos:
Para o primeiro termo, uso produto:
Para o segundo termo, também produto:
Somando e simplificando os termos semelhantes dá:
Passo 4
Finalmente, avalio em x=π. Como sin(π)=0 e cos(π)=−1, os termos com sin(π) somem e sobra: