Mostre como encontrar a integral das funções abaixo
f(x)=x sen(x)

Passo 1

Nesse exercício queremos encontrar a integral indefinida da função f(x)=x,sin(x). O conteúdo principal é integração por partes, e vamos precisar da fórmula:
integral u,dv = u,v - integral v,du

Passo 2

O primeiro passo na integração por partes é escolher u e dv. Como x é uma função polinomial e sua derivada é simples, escolhemos:
u = x
dv = sin(x),dx
A partir disso, calculamos:
du = dx
integral sin(x),dx = -cos(x)
portanto
v = -cos(x)

Passo 3

Agora aplicamos a fórmula de integração por partes:
integral x,sin(x),dx = u,v - integral v,du
Substituindo u, v e du:
integral x,sin(x),dx = xl(-cos(x)r) - integral l(-cos(x)r),dx
Simplificando os sinais:
integral x,sin(x),dx = -xcos(x) + integral cos(x),dx

Passo 4

Falta resolver integral cos(x),dx. Sabemos que
integral cos(x),dx = sin(x)
Então o resultado, antes de adicionar a constante, é
-,xcos(x) + sin(x)
Por fim, incluímos a constante de integração +C.

Resposta

-,xcos(x) + sin(x) + C

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