Mostre como encontrar a solução geral das equações diferenciais (raízes repetidas)
Passo 1
A questão pede a solução geral da equação diferencial linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes e raízes repetidas:
. Vamos usar a técnica da equação característica.
Passo 2
Assumimos uma solução do tipo
e substituímos na equação para obter a equação característica. Ao derivar temos
e
. Substituindo em
resulta em
Passo 3
Como
nunca é zero, podemos dividi-lo, obtendo a equação polinomial
Passo 4
Resolvendo
vemos que o discriminante é zero, logo há uma raiz dupla:
Passo 5
Para uma raiz de multiplicidade 2, a teoria de equações lineares diz que a solução geral é dada por
. Substituindo
obtemos a forma final.
Resposta
A solução geral é
.