Mostre como encontrar a solução geral das equações diferenciais (raízes repetidas)
y^prime prime-2 y^prime+y=0

Passo 1

A questão pede a solução geral da equação diferencial linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes e raízes repetidas: y''-2y'+y=0. Vamos usar a técnica da equação característica.

Passo 2

Assumimos uma solução do tipo y=e^rx e substituímos na equação para obter a equação característica. Ao derivar temos y'=r e^rx e y''=r^2 e^rx. Substituindo em y''-2y'+y=0 resulta em
r^2 e^rx - 2r e^rx + e^rx = 0

Passo 3

Como e^rx nunca é zero, podemos dividi-lo, obtendo a equação polinomial
r^2 - 2r + 1 = 0

Passo 4

Resolvendo r^2-2r+1=0 vemos que o discriminante é zero, logo há uma raiz dupla:
r = 2 pm raiz4 - 42 = 1

Passo 5

Para uma raiz de multiplicidade 2, a teoria de equações lineares diz que a solução geral é dada por y(x) = (C1 + C2 x)e^rx. Substituindo r=1 obtemos a forma final.

Resposta

A solução geral é y(x) = (C1 + C2 x)e^x.

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