Mostre como encontrar a solução geral das equações diferenciais separáveis
y^prime=x^2y

Passo 1

Temos a equação diferencial de primeira ordem separável dada por y' = x^2y. O conteúdo aqui é o método de separação de variáveis, onde vamos reescrever a equação de modo a ter todas as y de um lado e todas as x do outro, e depois integrar cada parte.

Passo 2

Começamos reescrevendo a derivada y' como dydx e multiplicando ambos os lados por y e por dx. Assim obtemos
y,dy = x^2,dx
Isso isola as variáveis: de um lado está só y e do outro só x.

Passo 3

Agora integramos ambos os lados: de um lado integral y,dy e do outro integral x^2,dx. Isso nos dá as primitivas de cada função.

Passo 4

Calculando as integrais, temos
integral y,dy = y^22 e integral x^2,dx = x^33 + C
onde C é a constante de integração.

Passo 5

Multiplicando tudo por 2 para simplificar e reunindo a constante em C', obtemos a forma explícita da solução geral:
y^2 = 23x^3 + C'
Finalmente, extraindo a raiz quadrada, chegamos à solução geral:

Resposta

y = pmraiztfrac23x^3 + C', onde C' é constante de integração arbitrária.

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