Resolva os seguintes problemas de valor inicial usando a transformada de Laplace:
y^prime prime+9 y=r(t), r(t)=8 sen t se 0 e 0 se t> pi y(0)=0, y^prime(0)=4

Passo 1

Estamos resolvendo o problema de valor inicial y''+9y=r(t) com r(t)=8sin t para 0 e zero para t>pi, sujeito a y(0)=0 e y'(0)=4. Vamos usar transformada de Laplace e o teorema do deslocamento.

Passo 2

Primeiro escrevemos r(t) em termos de funções de Heaviside:
r(t)=8sin tl(u(t)-u(t-pi)r)
A transformada de Laplace de 8sin t é 8/(s^2+1), então aplicando o deslocamento:
R(s)=8s^2+1-e^-pi s8s^2+1

Passo 3

Agora aplicamos a Laplace na EDO:
Ly''+9Ly=R(s)
Como y(0)=0 e y'(0)=4, temos
s^2Y(s)-4+9Y(s)=R(s)implies Y(s)=R(s)+4s^2+9

Passo 4

Substituímos R(s) e separamos termos com e sem e^-pi s:
Y(s)=4s^2+9+8(s^2+1)(s^2+9)-e^-pi s8(s^2+1)(s^2+9)
Fazemos frações parciais no termo não retardado:
8(s^2+1)(s^2+9)=1s^2+1-1s^2+9

Passo 5

Passamos agora à transformada inversa de cada parte:
  • 4/(s^2+9) vira (4/3)sin3t.
  • 1/(s^2+1) vira sin t.
  • -1/(s^2+9) vira -(1/3)sin3t.
  • O termo retardado e^-pi sl(-1s^2+1+1s^2+9r)
    vira
    -u(t-pi)sin(t-pi)+tfrac13u(t-pi)sin3(t-pi)

Passo 6

Juntando tudo e simplificando, para 0 temos
y(t)=43sin3t+sin t-13sin3t=sin t+sin3t
Para t>pi subtrai-se o termo retardado, o que leva a
y(t)=sin t+sin3t-l(-sin t+tfrac13sin3tr)=2sin t+tfrac23sin3t

Resposta

y(t)= sin t+sin3t,&0pi

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