Mostre como encontrar a transformada de Laplace sen(a t) de

Passo 1

Vamos achar a transformada de Laplace de f(t)=sin(at) usando a definição integral. O conteúdo é transformada de Laplace e vamos precisar da própria definição: Lf(t)=integral0^infty e^-stf(t),dt.

Passo 2

Escrevemos a transformada como integral imprópria:
I(s)=Lsin(at)=integral0^infty e^-stsin(at),dt
Aqui assumimos s>0 para garantir convergência.

Passo 3

Para calcular I(s), aplicamos integração por partes. Seja u=sin(at) e dv=e^-stdt. Então
du=acos(at),dt, v=-1se^-st
Assim
I(s)=l -sin(at)se^-str|0^infty +asintegral0^infty e^-stcos(at),dt
O termo de contorno vale zero, pois em t=0 aparece sin(0)=0 e em ttoinfty o fator e^-st anula tudo.

Passo 4

Chamando
J(s)=integral0^infty e^-stcos(at),dt,
temos
I(s)=asJ(s)
Para achar J(s), repetimos integração por partes com u=cos(at) e dv=e^-stdt, levando a
J(s)=1s-asI(s)

Passo 5

Substituindo J(s) em I(s)=tfracasJ(s) obtemos
I(s)=asl(1s-asI(s)r)=as^2-a^2s^2I(s)
Reorganizando,
I(s)+a^2s^2I(s)=as^2Longrightarrow I(s)l(1+a^2s^2r)=as^2
Multiplicando por s^2 e isolando I(s), vem
I(s)=as^2+a^2

Passo 6

Pronto! A transformada de Laplace de sin(at) é encontrada.

Passo 7

Resposta

Lsin(at)(s)=as^2+a^2, s>0

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