4.1 Um sistema é constituído de três partículas, cada uma de massa unitária, com posições e velocidades instantâneas dadas por
\begin{array}{ll} \overrightarrow{\mathrm{r}}_{1}=\overrightarrow{\mathrm{\imath}}+\vec{\jmath}+\overrightarrow{\mathrm{k}} & \overrightarrow{\mathrm{v}}_{1}=-\overrightarrow{\mathrm{l}} \\\ \overrightarrow{\mathrm{r}}_{2}=\overrightarrow{\mathrm{l}}+\overrightarrow{\mathrm{k}} & \overrightarrow{\mathrm{v}}_{2}=2 \vec{\jmath} \\\ \overrightarrow{\mathrm{r}}_{3}=\overrightarrow{\mathrm{k}} & \overrightarrow{\mathrm{v}}_{3}=\overrightarrow{\mathrm{l}}+\vec{\jmath}+\overrightarrow{\mathrm{k}} \end{array}
Calcule as seguintes grandezas
a) A posição instantânea do centro de massa.
b) A velocidade do centro de massa.
c) O momentum linear do sistema.
d) O momentum angular do sistema em relação à origem.
e) A energia cinética.

Passo 1

O enunciado descreve um sistema de três partículas, cada uma de massa unitária, com posições
\overrightarrow{r}_1 = \hat{\imath} + \hat{\jmath} + \hat{k}, \quad \overrightarrow{r}_2 = \hat{\imath} + \hat{k}, \quad \overrightarrow{r}_3 = \hat{k}
e velocidades
\overrightarrow{v}_1 = -\hat{\imath}, \quad \overrightarrow{v}_2 = 2\,\hat{\jmath}, \quad \overrightarrow{v}_3 = \hat{\imath} + \hat{\jmath} + \hat{k}.
Pede-se: (a) posição do centro de massa, (b) velocidade do centro de massa, (c) momentum linear, (d) momentum angular em relação à origem e (e) energia cinética. Usaremos as fórmulas de centro de massa, momento linear e angular, e energia cinética de partículas.

Passo 2

Para a posição do centro de massa aplicamos
\overrightarrow{r}_{\mathrm{cm}} =\frac{1}{M}\sum_{i}m_i\,\overrightarrow{r}_i,
onde M=m_1+m_2+m_3=3 e m_i=1. Logo
\sum_i\overrightarrow{r}_i =(\hat{\imath}+\hat{\jmath}+\hat{k}) +(\hat{\imath}+\hat{k}) +(\hat{k}) =2\,\hat{\imath}+1\,\hat{\jmath}+3\,\hat{k},
\overrightarrow{r}_{\mathrm{cm}} =\frac{2\,\hat{\imath}+\hat{\jmath}+3\,\hat{k}}{3}.

Passo 3

Para a velocidade do centro de massa usamos
\overrightarrow{v}_{\mathrm{cm}} =\frac{1}{M}\sum_i m_i\,\overrightarrow{v}_i =\frac{\overrightarrow{v}_1+\overrightarrow{v}_2+\overrightarrow{v}_3}{3}.
Calculando a soma:
\overrightarrow{v}_1+\overrightarrow{v}_2+\overrightarrow{v}_3 =(-\hat{\imath})+(2\,\hat{\jmath})+(\hat{\imath}+\hat{\jmath}+\hat{k}) =0\,\hat{\imath}+3\,\hat{\jmath}+1\,\hat{k},
\overrightarrow{v}_{\mathrm{cm}} =\frac{3\,\hat{\jmath}+\hat{k}}{3} =\hat{\jmath}+\tfrac{1}{3}\,\hat{k}.

Passo 4

O momentum linear total é
\overrightarrow{P} =\sum_i m_i\,\overrightarrow{v}_i =\overrightarrow{v}_1+\overrightarrow{v}_2+\overrightarrow{v}_3 =0\,\hat{\imath}+3\,\hat{\jmath}+1\,\hat{k}.

Passo 5

O momentum angular em relação à origem é
\overrightarrow{L} =\sum_i m_i\,\bigl(\overrightarrow{r}_i\times\overrightarrow{v}_i\bigr) =\sum_i\overrightarrow{r}_i\times\overrightarrow{v}_i.
Calculamos cada produto vetorial:
\overrightarrow{r}_1\times\overrightarrow{v}_1 =\begin{vmatrix} \hat{\imath}&\hat{\jmath}&\hat{k}\\\\ 1&1&1\\\\ -1&0&0 \end{vmatrix} =-\hat{\jmath}+\hat{k},
\overrightarrow{r}_2\times\overrightarrow{v}_2 =\begin{vmatrix} \hat{\imath}&\hat{\jmath}&\hat{k}\\\\ 1&0&1\\\\ 0&2&0 \end{vmatrix} =-2\,\hat{\imath}+2\,\hat{k},
\overrightarrow{r}_3\times\overrightarrow{v}_3 =\begin{vmatrix} \hat{\imath}&\hat{\jmath}&\hat{k}\\\\ 0&0&1\\\\ 1&1&1 \end{vmatrix} =-\hat{\imath}+\hat{\jmath}.
Somando:
\overrightarrow{L} =(-\hat{\jmath}+\hat{k}) +(-2\,\hat{\imath}+2\,\hat{k}) +(-\hat{\imath}+\hat{\jmath}) =-3\,\hat{\imath}+3\,\hat{k}.

Passo 6

A energia cinética total é
K =\sum_i\tfrac12\,m_i\,\lvert\overrightarrow{v}_i\rvert^2 =\tfrac12\bigl(\lvert\overrightarrow{v}_1\rvert^2 +\lvert\overrightarrow{v}_2\rvert^2 +\lvert\overrightarrow{v}_3\rvert^2\bigr).
Temos \lvert\overrightarrow{v}_1\rvert^2=1, \lvert\overrightarrow{v}_2\rvert^2=4,
\lvert\overrightarrow{v}_3\rvert^2=3. Logo
K =\tfrac12(1+4+3)=\tfrac12\cdot8=4.

Resposta

a) \displaystyle \overrightarrow{r}_{\mathrm{cm}}=\frac{2\,\hat{\imath}+\hat{\jmath}+3\,\hat{k}}{3}.
b) \displaystyle \overrightarrow{v}_{\mathrm{cm}}=\hat{\jmath}+\tfrac{1}{3}\,\hat{k}.
c) \displaystyle \overrightarrow{P}=0\,\hat{\imath}+3\,\hat{\jmath}+1\,\hat{k}.
d) \displaystyle \overrightarrow{L}=-3\,\hat{\imath}+3\,\hat{k}.
e) \displaystyle K=4.

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